Номер 52, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Преобразование фигур в пространстве.

Параллельное проектирование

52. Дан куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 78). При некотором параллельном переносе образом точки $C$ является точка $D$. Какая фигура при данном параллельном переносе является образом:

Рис. 78

По условию задачи, при параллельном переносе образом точки $C$ является точка $D$. Это означает, что параллельный перенос задается вектором переноса $\vec{v} = \vec{CD}$.

Чтобы найти образ любой точки $P$, нужно найти точку $P'$, такую что $\vec{PP'} = \vec{CD}$. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ противоположные ребра параллельны и равны, поэтому соответствующие векторы равны. В частности, для вектора переноса $\vec{CD}$ справедливы следующие равенства: $\vec{CD} = \vec{BA} = \vec{C_1D_1} = \vec{B_1A_1}$.

Чтобы найти образ точки $B_1$, необходимо найти такую точку $X$, что $\vec{B_1X} = \vec{CD}$. Используя равенство векторов в кубе, имеем $\vec{CD} = \vec{B_1A_1}$. Тогда равенство для переноса примет вид $\vec{B_1X} = \vec{B_1A_1}$, откуда следует, что точка $X$ совпадает с точкой $A_1$.

Ответ: точка $A_1$.

При параллельном переносе образом отрезка является отрезок. Чтобы найти образ отрезка $BC$, найдем образы его концов – точек $B$ и $C$.

По условию, образом точки $C$ является точка $D$.

Найдем образ точки $B$. Пусть это точка $Y$. Тогда должно выполняться условие $\vec{BY} = \vec{CD}$. Так как в основании куба лежит квадрат $ABCD$, то $\vec{BA} = \vec{CD}$. Следовательно, $\vec{BY} = \vec{BA}$, что означает, что точка $Y$ совпадает с точкой $A$.

Таким образом, образом отрезка $BC$ является отрезок, соединяющий образы его концов, то есть отрезок $AD$.

Ответ: отрезок $AD$.

Чтобы найти образ отрезка $BC_1$, найдем образы его концов – точек $B$ и $C_1$.

Из предыдущего пункта мы знаем, что образом точки $B$ является точка $A$.

Найдем образ точки $C_1$. Пусть это точка $Z$. Тогда $\vec{C_1Z} = \vec{CD}$. В кубе верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани, поэтому $\vec{C_1D_1} = \vec{CD}$. Отсюда получаем равенство $\vec{C_1Z} = \vec{C_1D_1}$, из которого следует, что точка $Z$ совпадает с точкой $D_1$.

Таким образом, образом отрезка $BC_1$ является отрезок, соединяющий образы его концов, то есть отрезок $AD_1$.

Ответ: отрезок $AD_1$.