Номер 58, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

58. Параллелограмм $A_1B_1C_1D_1$ — изображение ромба $ABCD$, в котором $\angle ABC = 120^\circ$. Постройте изображение высоты ромба, опущенной из вершины $D$ на сторону $BC$.

Пусть $A_1B_1C_1D_1$ — данный параллелограмм, являющийся изображением ромба $ABCD$, в котором $\angle ABC = 120^\circ$. Требуется построить изображение высоты ромба, опущенной из вершины $D$ на сторону $BC$. Обозначим эту высоту в оригинале как $DH$, где $H$ — основание высоты на стороне $BC$.

1. Нахождение положения основания высоты в ромбе-оригинале

В ромбе $ABCD$ сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, угол $\angle BCD$ равен:

$\angle BCD = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle DHC$, образованный высотой $DH$ (катет), стороной ромба $CD$ (гипотенуза) и отрезком $CH$ (катет). В этом треугольнике $\angle DHC = 90^\circ$. Катет $CH$ и гипотенуза $CD$ связаны через косинус угла $\angle DCH$:

$CH = CD \cdot \cos(\angle DCH)$.

Подставив значение угла $\angle DCH = 60^\circ$, получаем:

$CH = CD \cdot \cos(60^\circ) = CD \cdot \frac{1}{2}$.

Так как $ABCD$ — ромб, все его стороны равны, в частности $CD = BC$. Заменив $CD$ на $BC$ в предыдущей формуле, получим:

$CH = \frac{1}{2} BC$.

Этот результат означает, что основание высоты $H$, опущенной из вершины $D$ на сторону $BC$, является серединой этой стороны.

2. Построение изображения высоты

Параллельное проектирование, с помощью которого строится изображение фигуры, сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, середина отрезка проектируется в середину его изображения.

Следовательно, изображение точки $H$ (обозначим его $H_1$) будет являться серединой изображения стороны $BC$ (то есть отрезка $B_1C_1$). Изображением высоты $DH$ является отрезок $D_1H_1$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. Найти середину стороны $B_1C_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$. Обозначить эту точку как $H_1$.

2. Провести отрезок, соединяющий вершину $D_1$ с точкой $H_1$.

Отрезок $D_1H_1$ и есть искомое изображение высоты.

Ответ: Изображением высоты ромба, опущенной из вершины $D$ на сторону $BC$, является отрезок $D_1H_1$, где $H_1$ — середина стороны $B_1C_1$ параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.