Номер 62, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

62. Точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ — параллельные проекции точек $A$, $B$ и $C$ на плоскость $\alpha$ (рис. 82). Постройте точку пересечения прямой, содержащей медиану треугольника $ABC$, проведённую из вершины $A$, с плоскостью $\alpha$.

Рис. 82

Пусть $AM$ — медиана треугольника $ABC$, проведенная из вершины $A$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$. Требуется построить точку пересечения прямой, содержащей медиану $AM$, с плоскостью $\alpha$.

Согласно условию, точки $A_1$, $B_1$, $C_1$ являются параллельными проекциями точек $A$, $B$, $C$ на плоскость $\alpha$.

Ключевым свойством параллельного проецирования является то, что середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка. Обозначим проекцию точки $M$ на плоскость $\alpha$ как $M_1$. Поскольку $M$ — середина $BC$, ее проекция $M_1$ будет серединой отрезка $B_1C_1$ (который является проекцией отрезка $BC$).

Прямая $A_1M_1$ является проекцией прямой $AM$ на плоскость $\alpha$. Искомая точка пересечения, назовем ее $X$, должна лежать как на самой прямой $AM$, так и в плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $A_1M_1$ целиком лежит в плоскости $\alpha$ и является проекцией прямой $AM$, точка пересечения $X$ должна лежать на прямой $A_1M_1$.

Следовательно, искомая точка $X$ — это точка пересечения прямых $AM$ и $A_1M_1$.

Таким образом, алгоритм построения следующий:

1. В плоскости $\alpha$ соединяем точки $B_1$ и $C_1$.
2. Находим середину отрезка $B_1C_1$ и обозначаем ее $M_1$.
3. Проводим прямую через точки $A_1$ и $M_1$. Эта прямая лежит в плоскости $\alpha$.
4. Соединяем точки $B$ и $C$ и находим их середину, точку $M$.
5. Проводим прямую через точки $A$ и $M$. Это прямая, содержащая медиану.
6. Находим точку пересечения прямых $AM$ и $A_1M_1$. Эта точка и является искомой.

Ответ: Искомая точка является точкой пересечения прямой $AM$, где $M$ — середина отрезка $BC$, и прямой $A_1M_1$, где $M_1$ — середина отрезка $B_1C_1$.