Номер 57, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Треугольник $A_1B_1C_1$ является изображением равно-стороннего треугольника $ABC$, точка $F_1$ — изображение некоторой точки $F$ отрезка $BC$ (рис. 81). Постройте изображения прямых, проходящих через точку $F$ и перпендикулярных сторонам $AB$ и $BC$.

Рис. 81

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равностороннего треугольника и параллельного проецирования. В равностороннем треугольнике высота, проведенная к какой-либо стороне, совпадает с медианой и биссектрисой. При параллельном проецировании сохраняется параллельность прямых и отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой (или на параллельных прямых). Это означает, что середина отрезка проецируется в середину его изображения, следовательно, медиана треугольника проецируется в медиану его изображения.

Любая прямая, перпендикулярная стороне равностороннего треугольника, будет параллельна высоте (а значит, и медиане), проведенной к этой стороне.

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $AH$, проведенная из вершины $A$ к стороне $BC$, перпендикулярна $BC$.

2. Прямая, проходящая через точку $F$ и перпендикулярная стороне $BC$, будет параллельна высоте $AH$.

3. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, высота $AH$ является также и медианой. Следовательно, точка $H$ — середина стороны $BC$.

4. При параллельном проецировании медиана $AH$ переходит в медиану $A_1H_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, где $H_1$ — середина стороны $B_1C_1$.

5. Изображение искомой прямой должно проходить через точку $F_1$ (изображение точки $F$) и быть параллельным изображению высоты $AH$, то есть медиане $A_1H_1$.

Алгоритм построения:

1. Найти середину $H_1$ отрезка $B_1C_1$.
2. Провести отрезок $A_1H_1$ (изображение медианы и высоты).
3. Через точку $F_1$ провести прямую, параллельную $A_1H_1$. Эта прямая и будет искомым изображением.

Ответ: Изображением прямой, проходящей через точку F и перпендикулярной стороне BC, является прямая, проходящая через точку $F_1$ параллельно медиане $A_1H_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $CK$, проведенная из вершины $C$ к стороне $AB$, перпендикулярна $AB$.

2. Прямая, проходящая через точку $F$ и перпендикулярная стороне $AB$, будет параллельна высоте $CK$.

3. Так как $\triangle ABC$ — равносторонний, высота $CK$ является также и медианой. Следовательно, точка $K$ — середина стороны $AB$.

4. При параллельном проецировании медиана $CK$ переходит в медиану $C_1K_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$, где $K_1$ — середина стороны $A_1B_1$.

5. Изображение искомой прямой должно проходить через точку $F_1$ (изображение точки $F$) и быть параллельным изображению высоты $CK$, то есть медиане $C_1K_1$.

Алгоритм построения:

1. Найти середину $K_1$ отрезка $A_1B_1$.
2. Провести отрезок $C_1K_1$ (изображение медианы и высоты).
3. Через точку $F_1$ провести прямую, параллельную $C_1K_1$. Эта прямая и будет искомым изображением.

Ответ: Изображением прямой, проходящей через точку F и перпендикулярной стороне AB, является прямая, проходящая через точку $F_1$ параллельно медиане $C_1K_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$.