Номер 56, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

56. В каком случае параллельной проекцией угла является:

1) луч;

2) угол, равный данному углу?

1) луч;

Параллельной проекцией угла является луч в том случае, когда плоскость, в которой лежит угол, параллельна направлению проектирования. Рассмотрим угол $ \angle AOB $, лежащий в плоскости $ \alpha $. Пусть $ s $ - прямая, задающая направление проектирования.

Если прямая $ s $ параллельна плоскости $ \alpha $, то вся плоскость $ \alpha $ проектируется в прямую $ l $ на плоскости проекции. Вершина угла $ O $ проектируется в точку $ O' $ на прямой $ l $, а стороны угла (лучи $ OA $ и $ OB $) - в лучи $ O'A' $ и $ O'B' $, лежащие на этой же прямой $ l $.

В общем случае, проекция будет являться лучом, если направление проектирования $ s $ не лежит внутри данного угла $ \angle AOB $ (то есть, если спроецированные лучи $ O'A' $ и $ O'B' $ сонаправлены).

Наиболее наглядный и важный частный случай — это когда направление проектирования параллельно одной из сторон угла. Например, если направление проектирования $ s $ параллельно стороне $ OA $, то весь луч $ OA $ спроецируется в одну точку - проекцию вершины $ O' $. Другой луч $ OB $ (при условии, что он не параллелен $ s $) спроецируется в луч $ O'B' $. Таким образом, проекцией всего угла $ \angle AOB $ будет луч $ O'B' $.

Ответ: Параллельной проекцией угла является луч, если плоскость угла параллельна направлению проектирования. В частности, это происходит, когда направление проектирования параллельно одной из сторон угла.

2) угол, равный данному углу?

Параллельная проекция сохраняет величину угла в том случае, когда плоскость, в которой лежит данный угол, параллельна плоскости проекции.

Пусть угол $ \angle AOB $ лежит в плоскости $ \alpha $, а проекция строится на плоскость $ \pi $. Если плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ \pi $ ($ \alpha \parallel \pi $), то параллельное проектирование является движением (точнее, параллельным переносом), которое отображает плоскость $ \alpha $ на плоскость $ \pi $. Движение сохраняет расстояния между точками и, как следствие, величины углов.

Таким образом, любая фигура, лежащая в плоскости $ \alpha $, проектируется в конгруэнтную ей фигуру в плоскости $ \pi $. Если взять точки $ A $ и $ B $ на сторонах угла, то треугольник $ \triangle AOB $ спроектируется в конгруэнтный ему треугольник $ \triangle A'O'B' $. Из конгруэнтности треугольников ($ \triangle AOB \cong \triangle A'O'B' $) следует равенство их соответствующих углов, то есть $ \angle AOB = \angle A'O'B' $.

Ответ: Параллельной проекцией угла является угол, равный данному, если плоскость, в которой лежит исходный угол, параллельна плоскости проекции.