Номер 54, страница 71 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

54. На рисунке 80 изображён куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, на ребре $A_1B_1$ которого отметили точку $M$. Постройте образ данного куба при симметрии относительно:

1) вершины $D$;

2) точки $M$.

Рис. 80

1) вершины D

Центральная симметрия относительно точки (центра симметрии) — это преобразование пространства, при котором любая точка $P$ переходит в точку $P'$, для которой центр симметрии является серединой отрезка $PP'$. В данном случае центром симметрии является вершина $D$.

Для построения образа куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ необходимо построить образы всех его вершин относительно точки $D$. Вершина $D$, являясь центром симметрии, отображается сама в себя. Для нахождения образа любой другой вершины $V$ (например, $A$, $B$, $C$ и т.д.) нужно соединить её с точкой $D$ и продлить отрезок $VD$ за точку $D$ на его длину. Полученная точка $V'$ и будет образом вершины $V$. То есть, точка $D$ является серединой отрезка $VV'$. Векторно это условие записывается как $\vec{DV'} = -\vec{DV}$.

Таким образом, мы последовательно строим образы всех вершин. Например, для вершин, смежных с $D$, строим $A'$ так, что $D$ — середина $AA'$; $C'$ так, что $D$ — середина $CC'$; и $D_1'$ так, что $D$ — середина $D_1D_1'$. Образы остальных вершин ($B, B_1, C_1, A_1$) можно найти аналогично, либо используя правило параллелограмма. Например, так как $\vec{DB} = \vec{DA} + \vec{DC}$, то образ $\vec{DB'} = -\vec{DB} = -\vec{DA} - \vec{DC} = \vec{DA'} + \vec{DC'}$.

Соединив полученные точки-образы $A', B', C', D, A_1', B_1', C_1', D_1'$ рёбрами, мы получим куб, симметричный исходному относительно вершины $D$. Итоговый образ — это куб, равный исходному, который имеет с ним одну общую вершину $D$.
Ответ: Образом куба при симметрии относительно вершины $D$ является куб, равный исходному, имеющий с ним одну общую вершину $D$ и расположенный симметрично относительно этой вершины. Для построения нужно для каждой вершины $V$ исходного куба найти её образ $V'$ такой, что $D$ является серединой отрезка $VV'$, и соединить полученные вершины.

2) точки M

Аналогично первому пункту, для построения образа куба при симметрии относительно точки $M$ необходимо найти образы всех вершин исходного куба относительно этой точки. Точка $M$ лежит на ребре $A_1B_1$.

Правило построения образа $V''$ для любой точки $V$ то же: точка $M$ должна быть серединой отрезка $VV''$. Векторно это означает $\vec{MV''} = -\vec{MV}$. Для построения образа, например, вершины $A$, проводим прямую через точки $A$ и $M$. На этой прямой откладываем от точки $M$ в противоположную от $A$ сторону отрезок $MA''$, равный по длине отрезку $AM$. Точка $A''$ будет образом точки $A$. Эту процедуру повторяем для всех восьми вершин куба.

Полученные восемь точек $A'', B'', C'', D'', A_1'', B_1'', C_1'', D_1''$ соединяем рёбрами в той же последовательности, что и вершины исходного куба.

Так как центральная симметрия является движением, она сохраняет расстояния и углы. Поэтому образом куба будет куб, равный исходному. Также центральная симметрия переводит прямые в параллельные им прямые. Следовательно, рёбра нового куба будут параллельны соответствующим рёбрам старого куба. Точка $M$, являясь центром симметрии, отображается сама в себя и будет принадлежать образу ребра $A_1B_1$ — ребру $A_1''B_1''$.
Ответ: Образом куба при симметрии относительно точки $M$ является куб, равный исходному, рёбра которого параллельны соответствующим рёбрам исходного куба. Для его построения нужно для каждой вершины $V$ исходного куба найти её образ $V''$ такой, что точка $M$ является серединой отрезка $VV''$, а затем соединить полученные вершины-образы.