Номер 59, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. Треугольник $A_1 B_1 C_1$ — изображение прямоугольного равнобедренного треугольника $ABC$ с гипотенузой $AB$. Постройте изображение квадрата $CDEF$, если $D \in AC, E \in AB, F \in BC$.

Для решения задачи необходимо определить точное положение вершин квадрата $CDEF$ относительно вершин исходного треугольника $ABC$. По условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный и равнобедренный с гипотенузой $AB$. Это означает, что прямой угол находится при вершине $C$ ($\angle C = 90^\circ$), а катеты равны ($AC = BC$).

Для анализа введем прямоугольную систему координат с началом в точке $C$, направив ось $Ox$ вдоль катета $AC$ и ось $Oy$ вдоль катета $BC$. Пусть длина катетов $AC = BC = a$. Тогда вершины треугольника имеют координаты: $C(0,0)$, $A(a,0)$ и $B(0,a)$. Прямая, содержащая гипотенузу $AB$, задается уравнением $x+y=a$.

Квадрат $CDEF$ имеет одну вершину в точке $C(0,0)$. Так как $D \in AC$ (ось $Ox$) и $F \in BC$ (ось $Oy$), то при стороне квадрата, равной $s$, координаты вершин будут $C(0,0)$, $D(s,0)$, $F(0,s)$ и $E(s,s)$. По условию, вершина $E$ лежит на гипотенузе $AB$, следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнению прямой $AB$:$s+s=a \implies 2s=a \implies s = a/2$.

Таким образом, мы установили, что в исходной фигуре вершина $D$ является серединой катета $AC$, вершина $F$ — серединой катета $BC$, а вершина $E$ — серединой гипотенузы $AB$. Это можно проверить, найдя координаты середин сторон: середина $AC$ — это $(\frac{a+0}{2}, \frac{0+0}{2}) = (a/2, 0)$, что совпадает с $D$; середина $BC$ — это $(\frac{0+0}{2}, \frac{a+0}{2}) = (0, a/2)$, что совпадает с $F$; середина $AB$ — это $(\frac{a+0}{2}, \frac{0+a}{2}) = (a/2, a/2)$, что совпадает с $E$.

Изображение $A_1B_1C_1$ получено из треугольника $ABC$ путем параллельного проецирования. Одно из ключевых свойств параллельного проецирования заключается в том, что середина отрезка проецируется в середину проекции этого отрезка. Это свойство инвариантности отношения длин отрезков, лежащих на одной прямой.

Следовательно, для построения изображения квадрата $CDEF$ (которым будет параллелограмм $C_1D_1E_1F_1$) необходимо выполнить следующие действия:1. Найти точку $D_1$ как середину отрезка $A_1C_1$.2. Найти точку $F_1$ как середину отрезка $B_1C_1$.3. Найти точку $E_1$ как середину отрезка $A_1B_1$.4. Соединить последовательно точки $C_1$, $D_1$, $E_1$ и $F_1$.Полученный четырехугольник $C_1D_1E_1F_1$ является искомым изображением квадрата $CDEF$.

Ответ: Искомым изображением квадрата $CDEF$ является параллелограмм $C_1D_1E_1F_1$, где $D_1$ — середина стороны $A_1C_1$, $F_1$ — середина стороны $B_1C_1$, а $E_1$ — середина стороны $A_1B_1$ данного треугольника $A_1B_1C_1$.