Номер 66, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Найдите угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$, если $AD = 6$ см, $AB = 2$ см, $A_1D = 2\sqrt{10}$ см.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AB_1$ и $CD_1$ сначала найдем все измерения параллелепипеда, а затем воспользуемся геометрическим методом.

1. Нахождение высоты параллелепипеда

Так как $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — прямоугольный параллелепипед, его грань $ADD_1A_1$ является прямоугольником. Следовательно, треугольник $\triangle AA_1D$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $A$. Ребра $AA_1$ и $AD$ являются катетами, а диагональ грани $A_1D$ — гипотенузой.

По теореме Пифагора имеем: $AA_1^2 + AD^2 = A_1D^2$.

Подставим известные значения из условия: $AD = 6$ см и $A_1D = 2\sqrt{10}$ см.

$AA_1^2 + 6^2 = (2\sqrt{10})^2$

$AA_1^2 + 36 = 4 \cdot 10$

$AA_1^2 + 36 = 40$

$AA_1^2 = 40 - 36$

$AA_1^2 = 4$

$AA_1 = \sqrt{4} = 2$ см.

Таким образом, высота параллелепипеда $AA_1$ равна 2 см.

2. Нахождение угла между прямыми $AB_1$ и $CD_1$

Прямые $AB_1$ и $CD_1$ являются скрещивающимися. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным.

В параллелепипеде грань $CDD_1C_1$ параллельна грани $BAA_1B_1$. Это означает, что при параллельном переносе, например на вектор $\vec{CB}$, грань $CDD_1C_1$ совместится с гранью $BAA_1B_1$. При этом диагональ $CD_1$ перейдет в диагональ $BA_1$. Следовательно, прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$.

Тогда искомый угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ будет равен углу между пересекающимися прямыми $AB_1$ и $BA_1$.

Прямые $AB_1$ и $BA_1$ являются диагоналями грани $ABB_1A_1$. Эта грань представляет собой прямоугольник со сторонами $AB$ и $AA_1$. Из условия задачи $AB = 2$ см, а высоту $AA_1$ мы нашли в предыдущем пункте, она также равна 2 см.

Поскольку смежные стороны прямоугольника $ABB_1A_1$ равны ($AB = AA_1 = 2$ см), эта грань является квадратом.

Известно, что диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

Следовательно, угол между прямыми $AB_1$ и $BA_1$ равен $90^\circ$. А так как прямая $CD_1$ параллельна прямой $BA_1$, то и угол между прямыми $AB_1$ и $CD_1$ также равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.