Номер 61, страница 72 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. Трапеция $A_1B_1C_1D_1$ — изображение трапеции $ABCD$, в которой $AB = CD = AD$, $BC < AD$. Постройте изображение центра окружности, касающейся боковых сторон и большего основания трапеции $ABCD$.

Пусть $O$ — центр искомой окружности. По условию, эта окружность касается боковых сторон $AB$ и $CD$, а также большего основания $AD$ трапеции $ABCD$.

Центр окружности равноудален от всех прямых, которых она касается. Следовательно, точка $O$ находится на одинаковом расстоянии от прямых $AB$, $CD$ и $AD$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является биссектрисой угла между ними. Это означает, что точка $O$ должна лежать на биссектрисе угла $\angle DAB$ (чтобы быть равноудаленной от $AD$ и $AB$) и на биссектрисе угла $\angle CDA$ (чтобы быть равноудаленной от $AD$ и $CD$). Таким образом, центр $O$ является точкой пересечения биссектрис углов при основании $AD$.

Параллельное проектирование не сохраняет величины углов, поэтому построить изображение биссектрисы угла, просто разделив угол на изображении пополам, нельзя. Необходимо найти свойство искомой точки $O$, которое сохраняется при параллельном проектировании (является аффинным инвариантом).

Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. По условию задачи дано, что $AB = AD$. Это означает, что $\triangle ABD$ является равнобедренным с основанием $BD$. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при вершине ($\angle DAB$) одновременно является и медианой, проведенной к основанию. Следовательно, биссектриса угла $\angle DAB$ проходит через вершину $A$ и середину диагонали $BD$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. По условию $CD = AD$, поэтому $\triangle ACD$ — равнобедренный с основанием $AC$. Биссектриса угла при вершине ($\angle CDA$) в этом треугольнике также является медианой, проведенной к основанию $AC$. Следовательно, биссектриса угла $\angle CDA$ проходит через вершину $D$ и середину диагонали $AC$.

Таким образом, центр окружности $O$ является точкой пересечения двух отрезков: отрезка, соединяющего вершину $A$ с серединой диагонали $BD$, и отрезка, соединяющего вершину $D$ с серединой диагонали $AC$.

Построение, основанное на нахождении середин отрезков и пересечении прямых, сохраняется при параллельном проектировании, так как середина отрезка проектируется в середину образа отрезка, а прямые — в прямые. Поэтому для построения изображения $O_1$ точки $O$ необходимо выполнить аналогичные действия на изображении трапеции $A_1B_1C_1D_1$.

Алгоритм построения:

1. В данном изображении трапеции $A_1B_1C_1D_1$ построить диагональ $B_1D_1$.
2. Найти середину $K_1$ отрезка $B_1D_1$.
3. Провести прямую через точки $A_1$ и $K_1$.
4. Построить диагональ $A_1C_1$.
5. Найти середину $L_1$ отрезка $A_1C_1$.
6. Провести прямую через точки $D_1$ и $L_1$.
7. Точка пересечения прямых $A_1K_1$ и $D_1L_1$ и будет искомым изображением $O_1$ центра окружности.

Ответ: Изображение центра окружности $O_1$ является точкой пересечения прямой, проходящей через вершину $A_1$ и середину диагонали $B_1D_1$, и прямой, проходящей через вершину $D_1$ и середину диагонали $A_1C_1$.