Номер 64, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

64. Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ и треугольник $BMC$ не лежат в одной плоскости. Точка $E$ — середина отрезка $BM$, точка $F$ — середина отрезка $CM$, $\angle BCD = 140^\circ$. Найдите угол между прямыми:

1) $AD$ и $EF$;

2) $CD$ и $EF$.

1) AD и EF
Рассмотрим треугольник $BMC$. Так как точка $E$ — середина отрезка $BM$, а точка $F$ — середина отрезка $CM$, то отрезок $EF$ является средней линией треугольника $BMC$.
По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне. Следовательно, прямая $EF$ параллельна прямой $BC$ ($EF \parallel BC$).
Рассмотрим трапецию $ABCD$. По определению трапеции, ее основания $AD$ и $BC$ параллельны, то есть $AD \parallel BC$.
Мы имеем, что $AD \parallel BC$ и $EF \parallel BC$. По свойству транзитивности параллельных прямых, следует, что $AD \parallel EF$.
Угол между двумя параллельными прямыми по определению равен $0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.

2) CD и EF
Прямые $CD$ и $EF$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.
Как было установлено в предыдущем пункте, прямая $EF$ параллельна прямой $BC$ ($EF \parallel BC$).
Следовательно, искомый угол между прямыми $CD$ и $EF$ равен углу между прямыми $CD$ и $BC$.
Прямые $CD$ и $BC$ пересекаются в точке $C$ и являются сторонами трапеции. Угол между ними, $\angle BCD$, по условию равен $140^\circ$.
По определению, угол между прямыми — это наименьший из вертикальных углов, образованных при их пересечении. Его величина принадлежит промежутку $[0^\circ; 90^\circ]$.
Если один из углов равен $140^\circ$, то смежный с ним угол равен $180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$.
Поскольку $40^\circ < 90^\circ$, то угол между прямыми $CD$ и $BC$ (а значит, и между $CD$ и $EF$) равен $40^\circ$.
Ответ: $40^\circ$.