Номер 67, страница 73 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Точки $E, F, P$ и $K$ — середины соответственно рёбер $AD, BD, BC$ и $AC$ тетраэдра $DABC, AB = 6$ см, $CD = 10$ см, $PE = 7$ см. Найдите угол между прямыми $AB$ и $CD$.

По условию задачи, точки E, F, P, K являются серединами рёбер AD, BD, BC и AC тетраэдра DABC соответственно. Нам необходимо найти угол между скрещивающимися прямыми AB и CD.

1. Рассмотрим треугольник ABD. Отрезок EF соединяет середины сторон AD и BD. Следовательно, EF является средней линией треугольника ABD. По свойству средней линии, отрезок EF параллелен стороне AB и его длина равна половине длины этой стороны:

$EF \parallel AB$ и $EF = \frac{1}{2}AB$.

Так как $AB = 6$ см, то $EF = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3$ см.

2. Рассмотрим треугольник BCD. Отрезок FP соединяет середины сторон BD и BC. Следовательно, FP является средней линией треугольника BCD. По свойству средней линии, отрезок FP параллелен стороне CD и его длина равна половине длины этой стороны:

$FP \parallel CD$ и $FP = \frac{1}{2}CD$.

Так как $CD = 10$ см, то $FP = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ см.

3. Угол между скрещивающимися прямыми AB и CD равен углу между пересекающимися прямыми EF и FP, так как $EF \parallel AB$ и $FP \parallel CD$. Этот угол можно найти из треугольника EFP, в котором нам известны длины всех трёх сторон: $EF = 3$ см, $FP = 5$ см и, по условию, $PE = 7$ см.

4. Применим к треугольнику EFP теорему косинусов для нахождения угла $\angle EFP$:

$PE^2 = EF^2 + FP^2 - 2 \cdot EF \cdot FP \cdot \cos(\angle EFP)$

Подставим известные значения в формулу:

$7^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(\angle EFP)$

$49 = 9 + 25 - 30 \cdot \cos(\angle EFP)$

$49 = 34 - 30 \cdot \cos(\angle EFP)$

$49 - 34 = -30 \cdot \cos(\angle EFP)$

$15 = -30 \cdot \cos(\angle EFP)$

$\cos(\angle EFP) = \frac{15}{-30} = -\frac{1}{2}$

Из этого уравнения находим, что угол $\angle EFP = 120^\circ$.

5. Углом между прямыми по определению считается острый угол (или прямой). Если при пересечении прямых один из углов равен $120^\circ$, то смежный с ним угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Таким образом, угол между прямыми EF и FP, а следовательно, и между прямыми AB и CD, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.