Номер 47, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

47. Точки $M$, $N$ и $K$ — середины рёбер $AB$, $AD$ и $A_1B_1$ куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $K$ и прямую $MN$.

Для построения сечения куба плоскостью, проходящей через точку K и прямую MN, выполним следующие шаги:

1. Точки M и N лежат в одной грани ABCD (нижнее основание куба). Соединим их отрезком. Отрезок MN является линией пересечения (следом) секущей плоскости с гранью ABCD.

2. Плоскости оснований куба (ABCD) и (A₁B₁C₁D₁) параллельны. По свойству параллельных плоскостей, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с верхней гранью A₁B₁C₁D₁ будет проходить через точку K и будет параллельна прямой MN.

3. Рассмотрим треугольник ABD в основании. Так как точки M и N являются серединами рёбер AB и AD соответственно, отрезок MN является средней линией этого треугольника. По свойству средней линии, $MN \parallel BD$.

4. Так как линия сечения в верхней грани должна быть параллельна MN, а $MN \parallel BD$ и $BD \parallel B_1D_1$, то искомая линия в верхней грани будет параллельна диагонали $B_1D_1$. Проведём через точку K (середину $A_1B_1$) прямую, параллельную $B_1D_1$, до пересечения с ребром $A_1D_1$.

5. В треугольнике $A_1B_1D_1$ эта прямая будет являться средней линией, так как она проходит через середину стороны $A_1B_1$ параллельно стороне $B_1D_1$. Следовательно, она пересечет сторону $A_1D_1$ в её середине. Обозначим эту точку пересечения L. Таким образом, L – середина ребра $A_1D_1$.

6. Соединим точки K и L. Отрезок KL является следом секущей плоскости на грани A₁B₁C₁D₁.

7. Теперь последовательно соединим все полученные точки, принадлежащие сечению и лежащие в одних гранях:

• Соединяем M и K (лежат в грани ABB₁A₁).
• Соединяем N и L (лежат в грани ADD₁A₁).

В результате получаем замкнутый многоугольник MNLK, который является искомым сечением куба.

Ответ: Искомое сечение – четырехугольник MNLK, где L – середина ребра $A_1D_1$.