Номер 46, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

46. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны. Из точки $O$, не принадлежащей этим плоскостям и не находящейся между ними, проведены два луча. Один из них пересекает плоскости $\alpha$ и $\beta$ в точках $M_1$ и $K_1$, а другой — в точках $M_2$ и $K_2$ соответственно, точка $M_1$ лежит между точками $O$ и $K_1$. Найдите отрезок $OK_1$, если $OM_1 = 8$ см, $K_1K_2 = 6$ см, $M_1M_2 = M_1K_1$.

По условию задачи, плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Два луча, выходящие из точки O, образуют плоскость, назовем ее $\gamma$. Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по параллельным прямым. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\alpha$ является прямая $M_1M_2$. Линией пересечения плоскости $\gamma$ и плоскости $\beta$ является прямая $K_1K_2$. Таким образом, прямые $M_1M_2$ и $K_1K_2$ параллельны.

Рассмотрим треугольники $\triangle OM_1M_2$ и $\triangle OK_1K_2$. У этих треугольников угол $\angle M_1OM_2$ (или $\angle K_1OK_2$) является общим. Так как $M_1M_2 \parallel K_1K_2$, то углы $\angle OM_1M_2$ и $\angle OK_1K_2$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $M_1M_2$ и $K_1K_2$ и секущей $OK_1$. Следовательно, треугольники $\triangle OM_1M_2$ и $\triangle OK_1K_2$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:$$ \frac{OM_1}{OK_1} = \frac{M_1M_2}{K_1K_2} $$

Согласно условию, точка $M_1$ лежит между точками O и $K_1$. Это означает, что $OK_1 = OM_1 + M_1K_1$. Из этого соотношения можно выразить длину отрезка $M_1K_1$:$$ M_1K_1 = OK_1 - OM_1 $$Подставляя известное значение $OM_1 = 8$ см, получаем:$$ M_1K_1 = OK_1 - 8 $$

В условии также сказано, что $M_1M_2 = M_1K_1$. Используя полученное выше выражение, имеем:$$ M_1M_2 = OK_1 - 8 $$

Теперь подставим все известные и выраженные величины ($OM_1 = 8$ см, $K_1K_2 = 6$ см, $M_1M_2 = OK_1 - 8$) в ранее записанную пропорцию:$$ \frac{8}{OK_1} = \frac{OK_1 - 8}{6} $$

Пусть искомая длина отрезка $OK_1$ равна $x$. Тогда уравнение примет вид:$$ \frac{8}{x} = \frac{x - 8}{6} $$Для решения уравнения воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):$$ x(x - 8) = 8 \cdot 6 $$$$ x^2 - 8x = 48 $$$$ x^2 - 8x - 48 = 0 $$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его, найдя корни. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно -48. Этим условиям удовлетворяют числа 12 и -4.$$ x_1 = 12, \quad x_2 = -4 $$

Поскольку $x$ обозначает длину геометрического отрезка, его значение должно быть положительным. Следовательно, корень $x_2 = -4$ не является решением нашей задачи. Таким образом, длина отрезка $OK_1$ составляет 12 см.

Ответ: 12 см.