Номер 49, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

49. На ребре $AA_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ отметили точку $F$ так, что $AF : FA_1 = 1 : 4$. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $F$ и параллельной плоскости $BCD_1$. Найдите периметр построенного сечения, если $AA_1 = 30$ см, $AB = 40$ см, $AD = 18$ см.

Построение сечения

Обозначим искомую плоскость сечения как $\alpha$. По условию, плоскость $\alpha$ проходит через точку $F$ и параллельна плоскости $(BCD_1)$.

Для построения сечения воспользуемся свойством параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии их пересечения параллельны.

1. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает грань $ADD_1A_1$, в которой лежит точка $F$. Плоскость $(BCD_1)$ содержит прямую $BC$. Так как грань $ADD_1A_1$ параллельна грани $BCC_1B_1$, то линия пересечения плоскости $\alpha$ с гранью $ADD_1A_1$ должна быть параллельна прямой, по которой плоскость $(BCD_1)$ пересекает грань, параллельную $ADD_1A_1$. Прямая $BC$ параллельна $AD$. Поэтому проведем в плоскости $ADD_1A_1$ через точку $F$ прямую, параллельную $AD$. Эта прямая пересечет ребро $DD_1$ в некоторой точке $E$. Получаем отрезок $FE$, причем $FE \parallel AD$.
2. Теперь у нас есть точка $E$ на грани $CDD_1C_1$. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает грань $CDD_1C_1$ по прямой, параллельной линии пересечения плоскости $(BCD_1)$ с этой же гранью. Линия пересечения $(BCD_1)$ с гранью $CDD_1C_1$ — это прямая $CD_1$. Значит, в плоскости $CDD_1C_1$ через точку $E$ проводим прямую, параллельную $CD_1$. Эта прямая пересечет ребро $CD$ в некоторой точке $L$. Получаем отрезок $EL$, причем $EL \parallel CD_1$.
3. Далее, у нас есть точка $L$ на грани $ABCD$. Плоскость сечения $\alpha$ пересекает грань $ABCD$ по прямой, параллельной линии пересечения плоскости $(BCD_1)$ с этой же гранью, то есть прямой $BC$. Проводим в плоскости $ABCD$ через точку $L$ прямую, параллельную $BC$. Эта прямая пересечет ребро $AB$ в некоторой точке $K$. Получаем отрезок $LK$, причем $LK \parallel BC$.
4. Соединяем точки $F$ и $K$, лежащие в одной грани $ABB_1A_1$. Полученный четырехугольник $FKLE$ является искомым сечением.

Так как противолежащие грани параллелепипеда параллельны, то линии пересечения секущей плоскости с ними также параллельны. Следовательно, $FK \parallel EL$ и $FE \parallel KL$. Таким образом, сечение $FKLE$ является параллелограммом.

Ответ: Искомое сечение – параллелограмм $FKLE$, где точки $K, L, E$ лежат на ребрах $AB, CD, DD_1$ соответственно и построены согласно описанным шагам.

Нахождение периметра построенного сечения

Периметр параллелограмма $FKLE$ равен $P = 2(FK + KL)$. Найдем длины сторон $FK$ и $KL$.

1. Из условия $AF : FA_1 = 1:4$ и $AA_1 = 30$ см, найдем длину отрезка $AF$:
$AF = \frac{1}{1+4} \cdot AA_1 = \frac{1}{5} \cdot 30 = 6$ см.

2. По построению, $FE \parallel AD$ и точки $F, E$ лежат на ребрах $AA_1, DD_1$. Следовательно, четырехугольник $AFED$ — прямоугольник, и $DE = AF = 6$ см.

3. По построению, $LK \parallel BC$, а так как $ABCD$ — прямоугольник, то $LK = BC = AD = 18$ см.

4. По построению, $EL \parallel CD_1$. Рассмотрим грань $CDD_1C_1$. Прямоугольные треугольники $\triangle DEL$ и $\triangle DD_1C$ подобны по двум углам ($\angle D$ — общий, $\angle DEL = \angle DD_1C$ как соответственные при $EL \parallel CD_1$ и секущей $DD_1$). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $\frac{DL}{DC} = \frac{DE}{DD_1}$
$DD_1 = AA_1 = 30$ см, $DC = AB = 40$ см, $DE=6$ см. $\frac{DL}{40} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$
$DL = \frac{1}{5} \cdot 40 = 8$ см.

5. В грани $ABCD$ четырехугольник $AKLD$ является прямоугольником, так как $LK \parallel AD$ и $AK \perp AD, DL \perp AD$. Следовательно, $AK = DL = 8$ см.

6. Теперь найдем длину стороны $FK$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AFK$ (угол $\angle FAK = 90^\circ$). По теореме Пифагора: $FK^2 = AF^2 + AK^2$
$FK^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
$FK = \sqrt{100} = 10$ см.

7. Теперь мы можем вычислить периметр сечения: $P_{FKLE} = 2(FK + KL) = 2(10 + 18) = 2 \cdot 28 = 56$ см.

Ответ: 56 см.