Номер 48, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

48. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно 6 см. Точка $M$ — середина ребра $BB_1$. Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку $M$ и параллельна плоскости $AB_1C$, и вычислите периметр сечения.

Постройте сечение куба плоскостью, которая проходит через точку М и параллельна плоскости АВ₁С

Пусть искомая секущая плоскость называется $ \alpha $. По условию, плоскость $ \alpha $ проходит через точку $ M $ (середину ребра $ BB_1 $) и параллельна плоскоosti $ (AB_1C) $.

Построение сечения основано на свойстве параллельных плоскостей: если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то их линии пересечения параллельны.

1. Плоскость $ \alpha $ параллельна плоскости $ (AB_1C) $. Обе эти плоскости пересекает плоскость грани $ (BCC_1B_1) $. Плоскость $ (AB_1C) $ содержит прямую $ B_1C $. Следовательно, линия пересечения плоскости $ \alpha $ с гранью $ (BCC_1B_1) $ — это прямая, проходящая через точку $ M $ и параллельная $ B_1C $. Проведем эту прямую. Она пересечет ребро $ BC $ в точке $ N $. Так как $ M $ — середина $ BB_1 $, то по теореме Фалеса точка $ N $ будет серединой ребра $ BC $. Отрезок $ MN $ — одна из сторон искомого сечения.

2. Теперь рассмотрим пересечение плоскости $ \alpha $ с плоскостью основания $ (ABCD) $. Плоскость $ (AB_1C) $ содержит прямую $ AC $. Следовательно, линия пересечения $ \alpha $ с $ (ABCD) $ — это прямая, проходящая через точку $ N $ и параллельная $ AC $. Проведем ее. Эта прямая пересечет ребро $ AB $ в точке $ P $. Так как $ N $ — середина $ BC $, то по теореме Фалеса точка $ P $ будет серединой ребра $ AB $. Отрезок $ NP $ — вторая сторона сечения.

3. Соединим точки $ P $ и $ M $, которые лежат в плоскости передней грани $ (ABB_1A_1) $. Проверим, параллелен ли отрезок $ PM $ прямой $ AB_1 $, которая лежит в исходной плоскости $ (AB_1C) $. В треугольниках $ \triangle PBM $ и $ \triangle AB_1B $ угол при вершине $ B $ общий, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $ BP/BA = BM/BB_1 = 1/2 $. Значит, треугольники подобны по второму признаку подобия. Из подобия следует, что $ PM \parallel AB_1 $. Так как $ AB_1 \subset (AB_1C) $, а секущая плоскость $ \alpha \parallel (AB_1C) $, то отрезок $ PM $ принадлежит плоскости $ \alpha $ и является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечение является замкнутым многоугольником — треугольником $ MNP $. Его вершины являются серединами ребер куба, выходящих из одной вершины $ B $.

Ответ: Искомое сечение — треугольник $ MNP $, где $ N $ — середина $ BC $, а $ P $ — середина $ AB $.

Вычислите периметр сечения

Периметр сечения $ P_{MNP} $ — это сумма длин его сторон: $ P_{MNP} = MN + NP + PM $. Длина ребра куба по условию равна 6 см. Точки $ M, N, P $ являются серединами соответствующих ребер, поэтому $ BM = BN = BP = 6/2 = 3 $ см.

Найдем длины сторон сечения, рассматривая прямоугольные треугольники, образованные ребрами куба:
- Сторона $ NP $ лежит в основании $ ABCD $. Треугольник $ \triangle PBN $ является прямоугольным ($ \angle B = 90^\circ $). По теореме Пифагора: $ NP^2 = PB^2 + BN^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $, откуда $ NP = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $ см.
- Сторона $ MN $. Ребра $ BB_1 $ и $ BC $ перпендикулярны, значит $ \triangle MBN $ — прямоугольный ($ \angle MBN = 90^\circ $). По теореме Пифагора: $ MN^2 = BM^2 + BN^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $, откуда $ MN = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $ см.
- Сторона $ PM $. Ребра $ AB $ и $ BB_1 $ перпендикулярны, значит $ \triangle PBM $ — прямоугольный ($ \angle PBM = 90^\circ $). По теореме Пифагора: $ PM^2 = PB^2 + BM^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18 $, откуда $ PM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} $ см.

Все стороны треугольника $ MNP $ равны, значит, он равносторонний. Его периметр:
$ P_{MNP} = 3 \times NP = 3 \times 3\sqrt{2} = 9\sqrt{2} $ см.

Ответ: $ 9\sqrt{2} $ см.