Номер 45, страница 70 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

45. Плоскости $α$ и $β$ параллельны. Через точку $D$, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости $α$ и $β$ в точках $E_1$ и $F_1$, а другая — в точках $E_2$ и $F_2$ соответственно. Найдите угол $DE_1E_2$, если $\angle E_1DE_2 = 28°$, $\angle DF_2F_1 = 65°$.

Две пересекающиеся в точке $D$ прямые, $E_1F_1$ и $E_2F_2$, задают плоскость, назовем ее $\gamma$. Эта плоскость пересекает данные параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$.

По свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. В нашем случае, плоскость $\gamma$ пересекает плоскость $\alpha$ по прямой $E_1E_2$ (так как точки $E_1$ и $E_2$ лежат в обеих плоскостях), а плоскость $\beta$ — по прямой $F_1F_2$ (так как точки $F_1$ и $F_2$ лежат в обеих плоскостях). Следовательно, прямая $E_1E_2$ параллельна прямой $F_1F_2$, то есть $E_1E_2 \parallel F_1F_2$.

Теперь рассмотрим параллельные прямые $E_1E_2$ и $F_1F_2$ и секущую $E_2F_2$. Углы $\angle DE_2E_1$ (или $\angle F_2E_2E_1$) и $\angle DF_2F_1$ (или $\angle E_2F_2F_1$) являются внутренними накрест лежащими углами. Поскольку прямые параллельны, эти углы равны. По условию $\angle DF_2F_1 = 65^\circ$, значит, $\angle DE_2E_1 = 65^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle DE_1E_2$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для $\triangle DE_1E_2$ это записывается как:
$\angle DE_1E_2 + \angle DE_2E_1 + \angle E_1DE_2 = 180^\circ$.

Нам известны два угла в этом треугольнике: $\angle E_1DE_2 = 28^\circ$ (из условия) и $\angle DE_2E_1 = 65^\circ$ (как было найдено ранее). Подставим эти значения в уравнение и найдем искомый угол $\angle DE_1E_2$:

$\angle DE_1E_2 + 65^\circ + 28^\circ = 180^\circ$
$\angle DE_1E_2 + 93^\circ = 180^\circ$
$\angle DE_1E_2 = 180^\circ - 93^\circ$
$\angle DE_1E_2 = 87^\circ$

Ответ: $87^\circ$.