Номер 41, страница 69 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

41. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, $C \in \alpha$, $D \in \alpha$, $E \in \beta$, $F \in \beta$, $CE \parallel DF$, $CD = 2\sqrt{3}$ см, $DF = 3$ см, $\angle CEF = 150^{\circ}$. Найдите отрезок $CF$.

Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$), точки $C$ и $D$ принадлежат плоскости $\alpha$, а точки $E$ и $F$ — плоскости $\beta$, и при этом отрезки $CE$ и $DF$ параллельны ($CE \parallel DF$), то четыре точки $C, D, F, E$ лежат в одной плоскости.

Эта плоскость пересекает параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ по прямым $CD$ и $EF$ соответственно. Согласно свойству параллельных плоскостей, если третья плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Следовательно, $CD \parallel EF$.

Рассмотрим четырехугольник $CDFE$. В нем противоположные стороны попарно параллельны: $CE \parallel DF$ (по условию) и $CD \parallel EF$ (как доказано выше). Таким образом, четырехугольник $CDFE$ является параллелограммом.

В параллелограмме противоположные стороны равны. Из условия нам известно, что $CD = 2\sqrt{3}$ см и $DF = 3$ см. Значит:
$EF = CD = 2\sqrt{3}$ см
$CE = DF = 3$ см

Чтобы найти длину отрезка $CF$, который является диагональю параллелограмма $CDFE$, рассмотрим треугольник $CEF$. В этом треугольнике нам известны длины двух сторон $CE$ и $EF$ и угол между ними $\angle CEF = 150°$.

Применим теорему косинусов для нахождения стороны $CF$:
$CF^2 = CE^2 + EF^2 - 2 \cdot CE \cdot EF \cdot \cos(\angle CEF)$

Подставим известные значения в формулу и произведем вычисления:
$CF^2 = 3^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \cos(150°)$
Поскольку $\cos(150°) = \cos(180° - 30°) = -\cos(30°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$CF^2 = 9 + (4 \cdot 3) - 12\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$CF^2 = 9 + 12 + \frac{12\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2}$
$CF^2 = 21 + \frac{12 \cdot 3}{2}$
$CF^2 = 21 + \frac{36}{2}$
$CF^2 = 21 + 18$
$CF^2 = 39$
$CF = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $\sqrt{39}$ см.