Страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 17$ см, $AD = 32$ см. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, проведен перпендикуляр $PO$ к плоскости трапеции, $PO = \sqrt{65}$ см. Найдите расстояние от точки $P$ до сторон трапеции.

Поскольку в трапецию $ABCD$ вписана окружность, суммы ее противолежащих сторон равны. Из условия $AB = CD = 17$ см следует, что трапеция равнобедренная. Найдем длину меньшего основания $BC$:

$AB + CD = BC + AD$

$17 + 17 = BC + 32$

$34 = BC + 32$

$BC = 2$ см.

Для нахождения высоты $h$ трапеции проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{32 - 2}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$:

$h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$). Следовательно, радиус $r$ вписанной окружности равен:

$r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Радиус вписанной окружности является расстоянием от ее центра $O$ до любой из сторон трапеции.

Теперь найдем расстояние от точки $P$ до сторон трапеции. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Пусть $K$ — точка касания окружности с любой из сторон трапеции (например, со стороной $AD$). Тогда $OK$ — это радиус, проведенный в точку касания, и $OK \perp AD$. Длина $OK = r = 4$ см.

По условию, $PO$ перпендикулярен плоскости трапеции ($PO \perp (ABCD)$), а значит $PO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OK$. Следовательно, треугольник $POK$ — прямоугольный.

Рассмотрим наклонную $PK$ и ее проекцию $OK$ на плоскость трапеции. Так как проекция $OK$ перпендикулярна стороне $AD$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $PK$ перпендикулярна $AD$. Значит, длина отрезка $PK$ и есть искомое расстояние от точки $P$ до стороны $AD$.

По теореме Пифагора для треугольника $POK$:

$PK = \sqrt{PO^2 + OK^2} = \sqrt{(\sqrt{65})^2 + 4^2} = \sqrt{65 + 16} = \sqrt{81} = 9$ см.

Так как центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон трапеции (на расстояние $r$), то и расстояния от точки $P$ до всех четырех сторон трапеции будут одинаковы.

Ответ: 9 см.

106. Через вершину $B$ треугольника $ABC$ к его плоскости проведён перпендикуляр $MB$. Прямая, проходящая через точку $M$ и середину отрезка $AC$, делит угол $AMC$ пополам. Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

Пусть дан треугольник $ABC$. По условию, через вершину $B$ проведен перпендикуляр $MB$ к плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что прямая $MB$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$ и проходящей через точку $B$. В частности, $MB \perp AB$ и $MB \perp BC$. Следовательно, треугольники $MBA$ и $MBC$ являются прямоугольными с прямым углом при вершине $B$.

Обозначим середину отрезка $AC$ точкой $K$. По условию, прямая, проходящая через точки $M$ и $K$ (то есть прямая $MK$), делит угол $AMC$ пополам. Это значит, что $MK$ является биссектрисой угла $AMC$ в треугольнике $AMC$.

Рассмотрим треугольник $AMC$.

1. $MK$ — биссектриса угла $AMC$ (по условию).

2. $K$ — середина стороны $AC$, следовательно $AK = KC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы треугольника (теоремой о биссектрисе), которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для треугольника $AMC$ и биссектрисы $MK$ это свойство записывается так:

$\frac{MA}{MC} = \frac{AK}{KC}$

Так как $K$ — середина $AC$, то $AK = KC$. Следовательно, отношение $\frac{AK}{KC} = 1$.

Подставив это в наше уравнение, получаем:

$\frac{MA}{MC} = 1$, откуда следует, что $MA = MC$.

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $MBA$ и $MBC$.

1. Катет $MB$ — общий для обоих треугольников.

2. Гипотенуза $MA$ треугольника $MBA$ равна гипотенузе $MC$ треугольника $MBC$ (как мы доказали выше).

Поскольку прямоугольные треугольники равны по катету и гипотенузе, то $ΔMBA \cong ΔMBC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае нас интересуют катеты $AB$ и $BC$.

$AB = BC$.

Так как в треугольнике $ABC$ две стороны ($AB$ и $BC$) равны, то по определению он является равнобедренным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

107. Точка $P$ не принадлежит плоскости треугольника $ABC$ и находится на расстоянии 8 см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $P$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $ABC$, если $AB = BC = 17$ см, $AC = 16$ см.

Пусть $PO$ — искомое расстояние от точки $P$ до плоскости треугольника $ABC$. По определению, $PO$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$. Точка $O$ — проекция точки $P$ на эту плоскость.

Расстояние от точки $P$ до прямой, содержащей сторону треугольника, — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на эту прямую. Обозначим основания этих перпендикуляров на прямые $AB$, $BC$ и $AC$ как $K$, $L$ и $M$ соответственно. По условию, $PK = PL = PM = 8$ см.

Рассмотрим отрезки $OK$, $OL$ и $OM$. Так как $PO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $PK$ — наклонная к этой плоскости, то $OK$ является проекцией наклонной $PK$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $PK$ перпендикулярна прямой $AB$, ее проекция $OK$ также перпендикулярна прямой $AB$. Аналогично, $OL \perp BC$ и $OM \perp AC$.

Таким образом, длины отрезков $OK$, $OL$ и $OM$ — это расстояния от точки $O$ до сторон треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle POK$, $\triangle POL$ и $\triangle POM$. У них общий катет $PO$, а гипотенузы равны по условию ($PK = PL = PM = 8$ см). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $OK = OL = OM$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$, она является центром вписанной в этот треугольник окружности. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника ($OK$, $OL$, $OM$) равно радиусу этой вписанной окружности ($r$).

Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Находим полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 17 + 16}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

2. Находим площадь $S$:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = 17$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ по теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.
Теперь найдем площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$ см$^2$.

3. Находим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{120}{25} = 4.8$ см.
Следовательно, $OK = r = 4.8$ см.

4. Находим искомое расстояние $PO$:
Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle POK$. Мы знаем гипотенузу $PK = 8$ см и катет $OK = 4.8$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $PO$:
$PO^2 = PK^2 - OK^2$
$PO^2 = 8^2 - (4.8)^2 = 64 - 23.04 = 40.96$
$PO = \sqrt{40.96} = 6.4$ см.

Ответ: 6,4 см.

108. Через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $BM$, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно $3\sqrt{5}$ см, $AB = 5$ см, $AD = 4\sqrt{5}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $CD$.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $BM \perp (ABC)$, расстояние от $M$ до $AD$ равно $3\sqrt{5}$ см, $AB = 5$ см, $AD = 4\sqrt{5}$ см.

Найти: расстояние от точки $M$ до прямой $CD$.

Решение:

1. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим расстояние от точки $M$ до прямой $AD$. Поскольку $BM$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то $BM$ является перпендикуляром к этой плоскости. Отрезок $MA$ является наклонной, а отрезок $BA$ — её проекцией на плоскость $(ABC)$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны: $AB \perp AD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $MA \perp AD$. Таким образом, длина отрезка $MA$ и есть расстояние от точки $M$ до прямой $AD$, то есть $MA = 3\sqrt{5}$ см.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle MBA$. Так как $BM \perp (ABC)$, то $BM \perp AB$. Значит, $\triangle MBA$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B$. По теореме Пифагора: $MA^2 = MB^2 + AB^2$. Выразим $MB$: $MB^2 = MA^2 - AB^2 = (3\sqrt{5})^2 - 5^2 = 9 \cdot 5 - 25 = 45 - 25 = 20$. $MB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

3. Теперь найдем искомое расстояние от точки $M$ до прямой $CD$. Аналогично, $BM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MC$ — наклонная, а $BC$ — её проекция. В прямоугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $CD$ перпендикулярны: $BC \perp CD$. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $CD$, то и наклонная $MC$ перпендикулярна прямой $CD$. Следовательно, длина отрезка $MC$ является расстоянием от точки $M$ до прямой $CD$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle MBC$. Так как $BM \perp (ABC)$, то $BM \perp BC$. Значит, $\triangle MBC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B$. По теореме Пифагора: $MC^2 = MB^2 + BC^2$. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD = 4\sqrt{5}$ см. Подставим известные значения: $MC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2 = (4 \cdot 5) + (16 \cdot 5) = 20 + 80 = 100$. $MC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.

Угол между прямой и плоскостью

109. Наклонная образует с плоскостью угол 45°. Найдите расстояние от конца наклонной до этой плоскости, если длина наклонной равна $\sqrt{18}$ см.

Пусть дана плоскость $\alpha$ и наклонная $AB$, где точка $A$ лежит в плоскости, а точка $B$ находится вне ее. Длина наклонной $AB = \sqrt{18}$ см. Угол между наклонной и плоскостью по условию равен $45^\circ$.

Расстояние от конца наклонной (точки $B$) до плоскости — это длина перпендикуляра $BH$, опущенного из точки $B$ на плоскость $\alpha$. Точка $H$ является основанием этого перпендикуляра и лежит в плоскости $\alpha$. Отрезок $AH$ является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Треугольник $\triangle ABH$ является прямоугольным, так как $BH$ — перпендикуляр к плоскости, а значит, и к прямой $AH$, лежащей в этой плоскости ($\angle BHA = 90^\circ$). В этом треугольнике:
- $AB$ — гипотенуза (накло́нная), ее длина равна $\sqrt{18}$ см.
- $BH$ — катет, который нам нужно найти (расстояние до плоскости).
- $\angle BAH$ — угол между наклонной $AB$ и ее проекцией $AH$. По определению, это и есть угол между прямой и плоскостью, то есть $\angle BAH = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\angle BAH) = \frac{BH}{AB}$

Выразим из этой формулы искомое расстояние $BH$:
$BH = AB \cdot \sin(\angle BAH)$

Подставим известные значения. Упростим длину наклонной: $AB = \sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$ см. Значение синуса $45^\circ$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.
$BH = 3\sqrt{2} \cdot \sin(45^\circ) = 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = \frac{3 \cdot 2}{2} = 3$ см.

Ответ: 3 см.

110. Найдите угол между наклонной и плоскостью, к которой она проведена, если длина наклонной равна 24 см, а расстояние от конца наклонной до плоскости — 18 см.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а $AB$ — наклонная, проведенная к ней, где точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$. Длина наклонной $AB$ равна 24 см.

Расстояние от конца наклонной (точки $B$) до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $C$. Тогда отрезок $BC$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина, согласно условию, равна $BC = 18$ см.

Отрезок $AC$, соединяющий основание наклонной ($A$) и основание перпендикуляра ($C$), является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. В нашем случае это угол $\angle BAC$. Обозначим его как $\varphi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку $BC$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости, то $BC \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$:
• гипотенуза $AB$ — это сама наклонная, $AB = 24$ см.
• катет $BC$ — это перпендикуляр (расстояние от точки до плоскости), противолежащий искомому углу $\varphi$, $BC = 18$ см.

Для нахождения угла $\varphi$ используем тригонометрическую функцию синус, которая в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы:
$\sin(\varphi) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения в формулу:
$\sin(\varphi) = \frac{18}{24}$

Сократим полученную дробь:
$\sin(\varphi) = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{3}{4}$

Искомый угол $\varphi$ — это угол, синус которого равен $\frac{3}{4}$. Такое значение выражается через функцию арксинус.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$

111. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $BC = 1 \text{ см}$, $CD = \sqrt{3} \text{ см}$. Через вершину $A$ проведён перпендикуляр $MA$ к плоскости прямоугольника. Найдите угол между прямой $MC$ и плоскостью треугольника, если $MA = 2 \text{ см}$.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

В данной задаче прямая — это $MC$, а плоскость — это плоскость прямоугольника $ABCD$.

Так как по условию $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, то отрезок $AC$ является ортогональной проекцией наклонной $MC$ на плоскость $(ABCD)$. Следовательно, искомый угол — это угол между прямой $MC$ и её проекцией $AC$, то есть угол $\angle MCA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAC$. Поскольку $MA \perp (ABCD)$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABCD)$, то $MA \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle MAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Для нахождения угла $\angle MCA$ нам нужно знать длины катетов $MA$ и $AC$. Длина катета $MA$ дана по условию: $MA = 2$ см.

Найдем длину катета $AC$. $AC$ является диагональю прямоугольника $ABCD$. Мы можем найти её длину, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (или $\triangle ADC$), где $\angle B = 90^\circ$. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB = CD = \sqrt{3}$ см. Подставим известные значения:

$AC^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle MAC$. Мы знаем длины обоих катетов: $MA = 2$ см и $AC = 2$ см. Мы можем найти тангенс искомого угла $\angle MCA$:

$\text{tg}(\angle MCA) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MA}{AC} = \frac{2}{2} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Таким образом, угол между прямой $MC$ и плоскостью прямоугольника $ABCD$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.