Номер 107, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. Точка $P$ не принадлежит плоскости треугольника $ABC$ и находится на расстоянии 8 см от каждой из прямых, содержащих его стороны. Проекцией точки $P$ на плоскость $ABC$ является точка $O$, принадлежащая данному треугольнику. Найдите расстояние от точки $P$ до плоскости $ABC$, если $AB = BC = 17$ см, $AC = 16$ см.

Пусть $PO$ — искомое расстояние от точки $P$ до плоскости треугольника $ABC$. По определению, $PO$ является перпендикуляром к плоскости $ABC$. Точка $O$ — проекция точки $P$ на эту плоскость.

Расстояние от точки $P$ до прямой, содержащей сторону треугольника, — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $P$ на эту прямую. Обозначим основания этих перпендикуляров на прямые $AB$, $BC$ и $AC$ как $K$, $L$ и $M$ соответственно. По условию, $PK = PL = PM = 8$ см.

Рассмотрим отрезки $OK$, $OL$ и $OM$. Так как $PO$ — перпендикуляр к плоскости $ABC$, а $PK$ — наклонная к этой плоскости, то $OK$ является проекцией наклонной $PK$ на плоскость $ABC$. По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $PK$ перпендикулярна прямой $AB$, ее проекция $OK$ также перпендикулярна прямой $AB$. Аналогично, $OL \perp BC$ и $OM \perp AC$.

Таким образом, длины отрезков $OK$, $OL$ и $OM$ — это расстояния от точки $O$ до сторон треугольника $ABC$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle POK$, $\triangle POL$ и $\triangle POM$. У них общий катет $PO$, а гипотенузы равны по условию ($PK = PL = PM = 8$ см). Следовательно, эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Из равенства треугольников следует равенство вторых катетов: $OK = OL = OM$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$, она является центром вписанной в этот треугольник окружности. Расстояние от точки $O$ до сторон треугольника ($OK$, $OL$, $OM$) равно радиусу этой вписанной окружности ($r$).

Найдем радиус вписанной окружности $r$ по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.

1. Находим полупериметр $p$:
$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{17 + 17 + 16}{2} = \frac{50}{2} = 25$ см.

2. Находим площадь $S$:
Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = 17$ см. Проведем высоту $BH$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $AH = HC = \frac{AC}{2} = \frac{16}{2} = 8$ см. Из прямоугольного треугольника $\triangle ABH$ по теореме Пифагора найдем высоту $BH$:
$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.
Теперь найдем площадь треугольника:
$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot 15 = 120$ см$^2$.

3. Находим радиус вписанной окружности $r$:
$r = \frac{S}{p} = \frac{120}{25} = 4.8$ см.
Следовательно, $OK = r = 4.8$ см.

4. Находим искомое расстояние $PO$:
Вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle POK$. Мы знаем гипотенузу $PK = 8$ см и катет $OK = 4.8$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $PO$:
$PO^2 = PK^2 - OK^2$
$PO^2 = 8^2 - (4.8)^2 = 64 - 23.04 = 40.96$
$PO = \sqrt{40.96} = 6.4$ см.

Ответ: 6,4 см.