Номер 104, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром $O$. Через точку $O$ проведена прямая $MO$, перпендикулярная плоскости $ABC$. Точка $M$ удалена от этой плоскости на $2\sqrt{5}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до сторон треугольника, если $AB = 13$ см, $BC = 14$ см, $AC = 15$ см.

Пусть $ABC$ – данный треугольник со сторонами $AB = 13$ см, $BC = 14$ см и $AC = 15$ см. В треугольник вписана окружность с центром в точке $O$. Точка $O$ является инцентром треугольника, то есть точкой пересечения его биссектрис, и она равноудалена от всех сторон треугольника. Расстояние от инцентра до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$.

По условию, через точку $O$ проведена прямая $MO$, перпендикулярная плоскости треугольника $ABC$. Это означает, что $MO$ является перпендикуляром из точки $M$ к плоскости $ABC$. Длина этого перпендикуляра равна расстоянию от точки $M$ до плоскости, то есть $MO = 2\sqrt{5}$ см.

Требуется найти расстояние от точки $M$ до сторон треугольника. Расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Пусть $K$, $L$, $N$ – точки касания вписанной окружности со сторонами $AB$, $BC$ и $AC$ соответственно. Тогда радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны сторонам: $OK \perp AB$, $OL \perp BC$, $ON \perp AC$. При этом $OK = OL = ON = r$.

Рассмотрим расстояние от точки $M$ до стороны $AB$. У нас есть перпендикуляр $MO$ к плоскости $ABC$ и наклонная $MK$ к этой плоскости. Проекцией наклонной $MK$ на плоскость $ABC$ является отрезок $OK$. Так как проекция $OK$ перпендикулярна прямой $AB$ (лежащей в плоскости), то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $MK$ перпендикулярна прямой $AB$. Таким образом, длина отрезка $MK$ является расстоянием от точки $M$ до стороны $AB$.

Аналогично, расстояния от точки $M$ до сторон $BC$ и $AC$ равны длинам отрезков $ML$ и $MN$ соответственно.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOK$, $\triangle MOL$ и $\triangle MON$ (углы при вершине $O$ прямые, так как $MO \perp (ABC)$). У этих треугольников катет $MO$ – общий, а катеты $OK$, $OL$, $ON$ равны между собой как радиусы вписанной окружности. Следовательно, эти треугольники равны по двум катетам, а значит, равны и их гипотенузы: $MK = ML = MN$.

Таким образом, точка $M$ равноудалена от всех сторон треугольника $ABC$. Найдем это расстояние, вычислив длину $MK$ по теореме Пифагора из треугольника $\triangle MOK$:$MK^2 = MO^2 + OK^2 = (2\sqrt{5})^2 + r^2$.

Для этого сначала найдем радиус $r$ вписанной окружности по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ – площадь треугольника, а $p$ – его полупериметр.

1. Вычислим полупериметр $p$:$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$ см.

2. Вычислим площадь $S$ по формуле Герона:$S = \sqrt{p(p-AB)(p-BC)(p-AC)}$$S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{(3 \cdot 7) \cdot (2^3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 3)} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2}$$S = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$ см$^2$.

3. Теперь найдем радиус вписанной окружности $r$:$r = \frac{S}{p} = \frac{84}{21} = 4$ см.

4. Подставим найденное значение $r$ в формулу для $MK$:$MK = \sqrt{(2\sqrt{5})^2 + 4^2} = \sqrt{4 \cdot 5 + 16} = \sqrt{20 + 16} = \sqrt{36} = 6$ см.

Следовательно, расстояние от точки $M$ до каждой из сторон треугольника $ABC$ равно 6 см.
Ответ: 6 см.