Номер 100, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

100. Через вершину прямого угла $B$ прямоугольного треугольника $ABC$ к его плоскости проведён перпендикуляр $BK$ длиной 7 см. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если $AC = 8\sqrt{2}$ см, $\angle BAC = 45^{\circ}$.

По условию, дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $B$ ($\angle ABC = 90^\circ$). Через вершину $B$ к плоскости треугольника проведен перпендикуляр $BK$ длиной 7 см. Это означает, что отрезок $BK$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости $(ABC)$.

Требуется найти расстояние от точки $K$ до прямой $AC$. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KH$ к прямой $AC$. Таким образом, $KH \perp AC$, и длина отрезка $KH$ является искомым расстоянием.

Рассмотрим связь между отрезками $BK$, $BH$ и $KH$.

• $BK$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$.
• $KH$ — наклонная, проведенная из точки $K$ к прямой $AC$.
• $BH$ — проекция наклонной $KH$ на плоскость $(ABC)$.

Согласно теореме о трех перпендикулярах, если наклонная ($KH$) перпендикулярна прямой ($AC$), то и ее проекция ($BH$) перпендикулярна этой же прямой. Следовательно, $BH \perp AC$. Это означает, что $BH$ является высотой треугольника $ABC$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

Найдем длину высоты $BH$. В треугольнике $ABC$ нам известно: $\angle ABC = 90^\circ$, $\angle BAC = 45^\circ$ и гипотенуза $AC = 8\sqrt{2}$ см. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle BCA = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Поскольку углы при основании $AC$ равны ($\angle BAC = \angle BCA$), треугольник $ABC$ является равнобедренным, а значит, катеты $AB$ и $BC$ равны. В равнобедренном прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, также является медианой. Следовательно, она делит гипотенузу пополам, и ее длина равна половине гипотенузы: $BH = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $KBH$. Так как $BK \perp (ABC)$, то $BK$ перпендикулярен отрезку $BH$, лежащему в этой плоскости. Значит, $\angle KBH = 90^\circ$, и треугольник $KBH$ — прямоугольный. В этом треугольнике нам известны длины катетов:

• $BK = 7$ см (по условию).
• $BH = 4\sqrt{2}$ см (вычислено выше).

Искомое расстояние $KH$ является гипотенузой треугольника $KBH$. Найдем ее по теореме Пифагора: $KH^2 = BK^2 + BH^2$ $KH^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2$ $KH^2 = 49 + 16 \cdot 2$ $KH^2 = 49 + 32$ $KH^2 = 81$ $KH = \sqrt{81} = 9$ см.

Ответ: 9 см.