Номер 94, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Через вершину $B$ трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) проведена прямая $m$, перпендикулярная плоскости трапеции. Найдите расстояние между прямыми $m$ и $AD$, если $AB = CD = 4\sqrt{5}$ см, $BC = 10$ см, $AD = 18$ см.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми — это длина их общего перпендикуляра.

Пусть прямая $m$ проходит через точку $B$ и перпендикулярна плоскости трапеции $(ABCD)$. Прямая $AD$ лежит в этой плоскости. Опустим в плоскости трапеции высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. По определению высоты, отрезок $BH$ перпендикулярен прямой $AD$ ($BH \perp AD$).

По условию, прямая $m$ перпендикулярна плоскости $(ABCD)$. Это означает, что $m$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения $B$. Прямая $BH$ лежит в плоскости $(ABCD)$ и проходит через точку $B$, следовательно, прямая $m$ перпендикулярна высоте $BH$ ($m \perp BH$).

Таким образом, отрезок $BH$ является общим перпендикуляром к прямым $m$ и $AD$, так как он перпендикулярен обеим этим прямым. Его длина и есть искомое расстояние. Задача сводится к нахождению высоты трапеции $ABCD$.

Трапеция $ABCD$ является равнобедренной, так как ее боковые стороны равны: $AB = CD = 4\sqrt{5}$ см. Проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$.

В равнобедренной трапеции высота, опущенная из вершины тупого угла, делит большее основание на два отрезка, меньший из которых равен полуразности оснований. Найдем длину отрезка $AH$:
$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{18 - 10}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$. По теореме Пифагора найдем катет $BH$, который является высотой трапеции:
$AB^2 = AH^2 + BH^2$
$BH^2 = AB^2 - AH^2$
$BH^2 = (4\sqrt{5})^2 - 4^2 = 16 \cdot 5 - 16 = 80 - 16 = 64$
$BH = \sqrt{64} = 8$ см.

Следовательно, расстояние между прямыми $m$ и $AD$ равно длине высоты $BH$, то есть 8 см.

Ответ: 8 см.