Номер 89, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

89. В равнобедренном треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 15$ см, $\angle ABC = 120^\circ$. Точка $M$ находится на расстоянии 39 см от каждой из его вершин. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости треугольника $ABC$.

Пусть O - проекция точки M на плоскость треугольника ABC. Тогда отрезок MO является расстоянием от точки M до плоскости ABC. По определению, $MO \perp (ABC)$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$. У них общая катет MO. По условию, точка M находится на одинаковом расстоянии от вершин треугольника, то есть $MA = MB = MC = 39$ см. Эти отрезки являются гипотенузами в указанных треугольниках.

Поскольку катет MO общий, а гипотенузы $MA$, $MB$, $MC$ равны, то и вторые катеты этих треугольников равны: $OA = OB = OC$. Это означает, что точка O является центром окружности, описанной около треугольника ABC, а отрезки $OA$, $OB$, $OC$ - это радиусы этой окружности (R).

1. Найдем радиус R описанной окружности треугольника ABC.

Для этого воспользуемся обобщенной теоремой синусов: $R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$, где $a$ - сторона треугольника, а $\alpha$ - противолежащий ей угол. Сначала найдем сторону AC по теореме косинусов.

В $\triangle ABC$ известно $AB = BC = 15$ см и $\angle ABC = 120^{\circ}$.

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 15^2 + 15^2 - 2 \cdot 15 \cdot 15 \cdot \cos(120^{\circ})$

Поскольку $\cos(120^{\circ}) = -\frac{1}{2}$, то:

$AC^2 = 225 + 225 - 450 \cdot (-\frac{1}{2}) = 450 + 225 = 675$

$AC = \sqrt{675} = \sqrt{225 \cdot 3} = 15\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем радиус R описанной окружности:

$R = \frac{AC}{2 \sin(\angle ABC)}$

Поскольку $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:

$R = \frac{15\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{15\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 15$ см.

Таким образом, $OA = 15$ см.

2. Найдем расстояние от точки M до плоскости ABC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$. В нем:

• Гипотенуза $MA = 39$ см (по условию).
• Катет $OA = R = 15$ см (найдено выше).
• Катет $MO$ - искомое расстояние.

По теореме Пифагора:

$MA^2 = MO^2 + OA^2$

$MO^2 = MA^2 - OA^2$

$MO^2 = 39^2 - 15^2$

Используем формулу разности квадратов:

$MO^2 = (39 - 15)(39 + 15) = 24 \cdot 54 = 1296$

$MO = \sqrt{1296} = 36$ см.

Ответ: 36 см.