Номер 85, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

85. Из точки, не принадлежащей плоскости, проведены к ней две наклонные, длины проекций которых равны 12 см и 16 см, а сумма длин наклонных — 56 см. Найдите длины наклонных.

Пусть из точки A, не принадлежащей плоскости α, проведены две наклонные AB и AC к этой плоскости. AO — перпендикуляр, опущенный из точки A на плоскость α. Тогда отрезки OB и OC являются проекциями наклонных AB и AC на плоскость α соответственно. Треугольники ΔAOB и ΔAOC являются прямоугольными, так как AO перпендикулярен любой прямой в плоскости α, проходящей через точку O.

Обозначим длины наклонных как $l_1$ и $l_2$, а длины их проекций как $p_1 = 12$ см и $p_2 = 16$ см. Длину общего перпендикуляра AO обозначим как $h$.

По условию задачи, сумма длин наклонных равна 56 см:
$l_1 + l_2 = 56$

Используя теорему Пифагора для прямоугольных треугольников ΔAOB и ΔAOC, получаем два уравнения:
$l_1^2 = h^2 + p_1^2 \implies l_1^2 = h^2 + 12^2 = h^2 + 144$
$l_2^2 = h^2 + p_2^2 \implies l_2^2 = h^2 + 16^2 = h^2 + 256$

Выразим $h^2$ из каждого уравнения:
$h^2 = l_1^2 - 144$
$h^2 = l_2^2 - 256$

Поскольку левые части уравнений равны, мы можем приравнять их правые части:
$l_1^2 - 144 = l_2^2 - 256$

Перенесем члены с наклонными в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$l_2^2 - l_1^2 = 256 - 144$
$l_2^2 - l_1^2 = 112$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(l_2 - l_1)(l_2 + l_1) = 112$

Из условия мы знаем, что $l_1 + l_2 = 56$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$(l_2 - l_1) \cdot 56 = 112$

Отсюда найдем разность длин наклонных:
$l_2 - l_1 = \frac{112}{56}$
$l_2 - l_1 = 2$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений:
$l_2 + l_1 = 56$
$l_2 - l_1 = 2$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $l_2$:
$(l_2 + l_1) + (l_2 - l_1) = 56 + 2$
$2l_2 = 58$
$l_2 = \frac{58}{2} = 29$ (см)

Теперь подставим значение $l_2$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $l_1$. Например, в первое:
$l_1 + 29 = 56$
$l_1 = 56 - 29 = 27$ (см)

Длины наклонных составляют 27 см и 29 см.

Ответ: 27 см и 29 см.