Номер 81, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

81. Из точки к плоскости проведены перпендикуляр длиной 8 см и наклонная. Угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость равен $60^{\circ}$. Найдите длины наклонной и её проекции.

Пусть из точки A к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр AH и наклонная AB. Тогда AH — это длина перпендикуляра, AB — длина наклонной, а HB — длина проекции наклонной на плоскость. По условию, длина перпендикуляра $AH = 8$ см. Угол между наклонной и её проекцией — это угол $\angle ABH$, и он равен $60^\circ$.

Так как AH — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, то он перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку H. Следовательно, $AH \perp HB$. Это означает, что треугольник $\triangle AHB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине H ($\angle AHB = 90^\circ$).

В прямоугольном треугольнике $\triangle AHB$ нам известны катет AH (противолежащий углу $60^\circ$) и угол $\angle ABH = 60^\circ$. Нам нужно найти гипотенузу AB (длину наклонной) и катет HB (длину проекции).

Для нахождения длины наклонной (гипотенузы AB) воспользуемся определением синуса угла в прямоугольном треугольнике:

$\sin(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AB}$

Отсюда выразим AB:

$AB = \frac{AH}{\sin(\angle ABH)}$

Подставим известные значения $AH = 8$ см и $\angle ABH = 60^\circ$. Значение синуса $60^\circ$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$AB = \frac{8}{\sin(60^\circ)} = \frac{8}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{8 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$AB = \frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{16\sqrt{3}}{3}$ см.

Для нахождения длины проекции (катета HB) воспользуемся определением тангенса угла в прямоугольном треугольнике:

$\tan(\angle ABH) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{AH}{HB}$

Отсюда выразим HB:

$HB = \frac{AH}{\tan(\angle ABH)}$

Подставим известные значения $AH = 8$ см и $\angle ABH = 60^\circ$. Значение тангенса $60^\circ$ равно $\sqrt{3}$.

$HB = \frac{8}{\tan(60^\circ)} = \frac{8}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$HB = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $\frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.