Номер 77, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

77. Через вершину B квадрата ABCD проведена прямая BM, перпендикулярная плоскости ABC. Через центр O квадрата проведена прямая NO, параллельная прямой BM. Найдите расстояние от точки N до вершин квадрата, если $AB = 4\sqrt{2}$ см, $NO = 3$ см.

По условию, прямая $BM$ перпендикулярна плоскости квадрата $ABC$. Прямая $NO$ проведена через центр квадрата $O$ параллельно прямой $BM$. Из этого следует, что прямая $NO$ также перпендикулярна плоскости квадрата $ABC$.

Это означает, что отрезок $NO$ является перпендикуляром от точки $N$ к плоскости $ABC$. Следовательно, для нахождения расстояний от точки $N$ до вершин квадрата ($NA$, $NB$, $NC$ и $ND$) мы можем рассмотреть прямоугольные треугольники $\triangle NOA$, $\triangle NOB$, $\triangle NOC$ и $\triangle NOD$, где катетами являются $NO$ и отрезки, соединяющие центр квадрата с его вершинами ($OA$, $OB$, $OC$, $OD$).

Сначала найдем длину диагонали квадрата $ABCD$. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $\triangle ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ Поскольку $ABCD$ — квадрат, то $AB = BC = 4\sqrt{2}$ см. $AC^2 = (4\sqrt{2})^2 + (4\sqrt{2})^2 = (16 \cdot 2) + (16 \cdot 2) = 32 + 32 = 64$ см$^2$. $AC = \sqrt{64} = 8$ см.

Центр квадрата $O$ является точкой пересечения его диагоналей, которые в точке пересечения делятся пополам. Диагонали квадрата равны, поэтому расстояния от центра до всех вершин одинаковы: $OA = OB = OC = OD = \frac{1}{2} AC = \frac{8}{2} = 4$ см.

Теперь мы можем найти искомые расстояния, которые являются гипотенузами в прямоугольных треугольниках $\triangle NOA$, $\triangle NOB$, $\triangle NOC$ и $\triangle NOD$. Длины катетов известны: $NO = 3$ см и $OA = OB = OC = OD = 4$ см.

По теореме Пифагора: $NA^2 = NO^2 + OA^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. $NA = \sqrt{25} = 5$ см.

Так как отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ равны, то и расстояния от точки $N$ до вершин $A$, $B$, $C$ и $D$ также будут равны: $NA = NB = NC = ND = 5$ см.

Ответ: расстояние от точки $N$ до каждой из вершин квадрата равно 5 см.