Номер 78, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

78. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13 \text{ см}$, $AC = 10 \text{ см}$, точка $D$ — середина $AC$, точка $E$ — середина $AB$, точка $F$ — середина $BC$. Прямая $PD$ перпендикулярна плоскости $ABC$, $BP = 2\sqrt{61} \text{ см}$. Найдите угол между прямыми $EF$ и $PC$.

Поскольку точки E и F являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно, то отрезок EF является его средней линией. По свойству средней линии $EF \parallel AC$. Угол между скрещивающимися прямыми EF и PC равен углу между параллельной EF прямой AC и прямой PC. Таким образом, искомый угол равен углу $\angle PCA$ в треугольнике PAC.

Рассмотрим треугольник ABC. Он равнобедренный, так как $AB = BC = 13$ см. D — середина основания AC, поэтому $AD = DC = \frac{1}{2}AC = \frac{10}{2} = 5$ см. Медиана BD, проведенная к основанию, является также высотой, следовательно, $BD \perp AC$. Из прямоугольного треугольника BDA по теореме Пифагора найдем длину BD:$BD^2 = AB^2 - AD^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$.$BD = \sqrt{144} = 12$ см.

По условию, прямая PD перпендикулярна плоскости ABC, а значит, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку D. Следовательно, $PD \perp BD$. Треугольник PDB — прямоугольный. По теореме Пифагора найдем длину PD:$PD^2 = BP^2 - BD^2 = (2\sqrt{61})^2 - 12^2 = 4 \cdot 61 - 144 = 244 - 144 = 100$.$PD = \sqrt{100} = 10$ см.

Так как $PD \perp$ плоскости ABC, то $PD \perp AC$, а значит $PD \perp DC$. Треугольник PDC является прямоугольным с прямым углом D. Найдем длину гипотенузы PC по теореме Пифагора:$PC^2 = PD^2 + DC^2 = 10^2 + 5^2 = 100 + 25 = 125$.$PC = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$ см.

Теперь найдем искомый угол $\angle PCA$. В прямоугольном треугольнике PDC косинус этого угла равен отношению прилежащего катета DC к гипотенузе PC:$\cos(\angle PCA) = \frac{DC}{PC} = \frac{5}{5\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$.Отсюда, искомый угол равен $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.

Ответ: $\arccos(\frac{\sqrt{5}}{5})$.