Номер 83, страница 75 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

83. Из точки $F$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $FM$ и $FN$ и перпендикуляр $FK$. Найдите наклонные $FM$ и $FN$, если $MK = 4$ см, $\angle FMK = 30^\circ$, $\angle NFK = 60^\circ$.

Поскольку $FK$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, а $FM$ и $FN$ — наклонные, то отрезки $MK$ и $NK$ являются проекциями этих наклонных на плоскость $\alpha$. Треугольники $\Delta FMK$ и $\Delta FNK$ являются прямоугольными, так как $FK \perp \alpha$, а значит $FK$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $K$ ($\angle FKM = 90^\circ$ и $\angle FKN = 90^\circ$).

Найдем наклонную FM
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta FMK$. В нем известен катет $MK = 4$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle FMK = 30^\circ$. Наклонная $FM$ является гипотенузой. Найдем ее длину, используя определение косинуса в прямоугольном треугольнике (отношение прилежащего катета к гипотенузе):
$cos(\angle FMK) = \frac{MK}{FM}$
Выразим из формулы $FM$:
$FM = \frac{MK}{cos(30^\circ)}$
Подставим известные значения ($cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$):
$FM = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $FM = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Найдем наклонную FN
Для нахождения длины $FN$ необходимо сначала найти длину перпендикуляра $FK$. Найдем $FK$ из треугольника $\Delta FMK$. $FK$ — это катет, противолежащий углу $\angle FMK$. Используем определение тангенса (отношение противолежащего катета к прилежащему):
$tan(\angle FMK) = \frac{FK}{MK}$
Выразим из формулы $FK$:
$FK = MK \cdot tan(30^\circ)$
Подставим известные значения ($tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$):
$FK = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\Delta FNK$. В нем известен катет $FK = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle NFK = 60^\circ$. Наклонная $FN$ является гипотенузой. Найдем ее длину, используя определение косинуса:
$cos(\angle NFK) = \frac{FK}{FN}$
Выразим из формулы $FN$:
$FN = \frac{FK}{cos(60^\circ)}$
Подставим известные значения ($cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$):
$FN = \frac{\frac{4\sqrt{3}}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \cdot 2 = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.
Ответ: $FN = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.