Номер 87, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

87. Из точки $M$ к плоскости $\alpha$ проведены наклонные $MA$ и $MB$ и перпендикуляр $MO$, $MB = \sqrt{43}$ см, $MO = 4$ см, $AB = 3\sqrt{7}$ см, $\angle AOB = 150^\circ$. Найдите наклонную $MA$.

Поскольку $MO$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, то отрезок $MO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку $O$. Следовательно, треугольники $\triangle MOA$ и $\triangle MOB$ являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине $O$ ($\angle MOA = 90^\circ$ и $\angle MOB = 90^\circ$).

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOB$. Используя теорему Пифагора ($MB^2 = MO^2 + OB^2$), найдем длину проекции $OB$ наклонной $MB$ на плоскость $\alpha$.
$OB^2 = MB^2 - MO^2 = (\sqrt{43})^2 - 4^2 = 43 - 16 = 27$
$OB = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$, который лежит в плоскости $\alpha$. В этом треугольнике нам известны сторона $AB = 3\sqrt{7}$ см, сторона $OB = 3\sqrt{3}$ см и угол между сторонами $OA$ и $OB$, который равен $\angle AOB = 150^\circ$. Мы можем найти длину стороны $OA$ с помощью теоремы косинусов:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$
Обозначим длину $OA$ через $x$ и подставим известные значения в формулу:
$(3\sqrt{7})^2 = x^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot x \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(150^\circ)$
Значение косинуса $150^\circ$ равно $\cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$63 = x^2 + 27 - 2 \cdot x \cdot 3\sqrt{3} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})$
$63 = x^2 + 27 + (6\sqrt{3}x) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$63 = x^2 + 27 + \frac{6 \cdot 3 \cdot x}{2}$
$63 = x^2 + 27 + 9x$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 9x + 27 - 63 = 0$
$x^2 + 9x - 36 = 0$
Решим это уравнение. По теореме Виета, корни $x_1$ и $x_2$ удовлетворяют условиям: $x_1 \cdot x_2 = -36$ и $x_1 + x_2 = -9$. Этим условиям удовлетворяют числа $3$ и $-12$. Поскольку длина отрезка не может быть отрицательной, мы заключаем, что $OA = 3$ см.

3. Наконец, рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MOA$. Зная длины катетов $MO = 4$ см и $OA = 3$ см, мы можем найти длину гипотенузы $MA$ (искомой наклонной) по теореме Пифагора:
$MA^2 = MO^2 + OA^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$
$MA = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.