Номер 90, страница 76 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

90. Через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ проведена плоскость $\alpha$, параллельная диагонали $AC$. Расстояние между прямой $AC$ и плоскостью $\alpha$ равно $2\sqrt{10}$ см, а проекции отрезков $AB$ и $BD$ на плоскость $\alpha$ равны $3$ см и $2\sqrt{26}$ см соответственно. Найдите сторону $BC$ параллелограмма, если диагональ $AC$ равна $14$ см.

Обозначим через $A'$, $B'$, $C'$, $D'$ ортогональные проекции вершин параллелограмма $A, B, C, D$ на плоскость $\alpha$. Расстояние от точки $X$ до плоскости $\alpha$ обозначим как $h_X$.

Согласно условию задачи:

• Вершина $B$ лежит в плоскости $\alpha$, следовательно, её проекция совпадает с самой точкой ($B' = B$), а расстояние до плоскости равно нулю ($h_B = 0$).
• Плоскость $\alpha$ параллельна диагонали $AC$. Это означает, что все точки прямой $AC$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\alpha$. Это расстояние дано и равно $2\sqrt{10}$ см. Таким образом, $h_A = h_C = 2\sqrt{10}$ см.
• Длина проекции отрезка $AB$ на плоскость $\alpha$ равна $A'B' = A'B = 3$ см.
• Длина проекции отрезка $BD$ на плоскость $\alpha$ равна $B'D' = BD' = 2\sqrt{26}$ см.
• Длина диагонали $AC$ равна 14 см.

1. Найдем длину стороны $AB$.

Длина отрезка в пространстве связана с длиной его проекции и разностью высот его концов над плоскостью по теореме Пифагора. Для отрезка $AB$ имеем:

$AB^2 = (A'B)^2 + (h_A - h_B)^2$

Подставим известные значения:

$AB^2 = 3^2 + (2\sqrt{10} - 0)^2 = 9 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49$

$AB = \sqrt{49} = 7$ см.

2. Найдем расстояние от вершины $D$ до плоскости $\alpha$.

В параллелограмме диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $\vec{A} + \vec{C} = \vec{B} + \vec{D}$. Это векторное равенство справедливо и для координат, в частности для аппликат (расстояний до плоскости):

$h_A + h_C = h_B + h_D$

Подставим известные значения:

$2\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 0 + h_D$

$h_D = 4\sqrt{10}$ см.

3. Найдем длину диагонали $BD$.

Аналогично нахождению стороны $AB$, используем теорему Пифагора для отрезка $BD$:

$BD^2 = (BD')^2 + (h_D - h_B)^2$

Подставим известные и найденные значения:

$BD^2 = (2\sqrt{26})^2 + (4\sqrt{10} - 0)^2 = (4 \cdot 26) + (16 \cdot 10) = 104 + 160 = 264$

4. Найдем сторону $BC$ параллелограмма.

Для любого параллелограмма справедливо свойство: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$

Подставим известные значения длин $AC$, $BD$ и $AB$:

$14^2 + 264 = 2(7^2 + BC^2)$

$196 + 264 = 2(49 + BC^2)$

$460 = 2(49 + BC^2)$

$230 = 49 + BC^2$

$BC^2 = 230 - 49 = 181$

$BC = \sqrt{181}$ см.

Ответ: $\sqrt{181}$ см.