Номер 95, страница 77 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3. Перпендикуляр и наклонная - номер 95, страница 77.

Условие.

95. К окружности с центром $O$ и радиусом 8 см провели касательную $a$ в точке $M$. Через точку $K$ окружности перпендикулярно её плоскости провели прямую $m$. Найдите расстояние между прямыми $m$ и $a$, если $\angle KOM = 60^\circ$.

Решение.

Решение 2.

Пусть плоскость, в которой лежит окружность, называется $\alpha$. Прямая $a$ является касательной к окружности в точке $M$, следовательно, прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$. По свойству касательной, радиус $OM$ перпендикулярен касательной $a$ в точке касания, то есть $OM \perp a$.

Прямая $m$ проходит через точку $K$ на окружности и перпендикулярна плоскости $\alpha$. Поскольку прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $m$ пересекает эту плоскость в точке $K$, которая не лежит на прямой $a$ (так как $\angle KOM = 60^{\circ} \neq 0$), прямые $m$ и $a$ являются скрещивающимися.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно длине их общего перпендикуляра. Обозначим этот перпендикуляр $d$. Пусть $H$ — точка на прямой $m$, а $P$ — точка на прямой $a$, такие что отрезок $HP$ является общим перпендикуляром. Тогда $HP \perp m$ и $HP \perp a$.

Так как $m \perp \alpha$ и $HP \perp m$, то отрезок $HP$ должен быть параллелен плоскости $\alpha$ (или лежать в ней). Точка $P$ лежит на прямой $a$, а значит, и в плоскости $\alpha$. Это означает, что точка $H$ должна находиться на том же "уровне", что и плоскость $\alpha$. Единственная точка прямой $m$, лежащая в плоскости $\alpha$, — это точка $K$. Следовательно, точка $H$ совпадает с точкой $K$, и искомое расстояние — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $a$ в плоскости $\alpha$.

Рассмотрим задачу в плоскости $\alpha$. Нам нужно найти расстояние от точки $K$ до прямой $a$. Проведем из точки $K$ перпендикуляр $KL$ на прямую $OM$. Получим прямоугольный треугольник $\triangle OKL$. В этом треугольнике гипотенуза $OK$ равна радиусу окружности, то есть $OK = 8$ см. Угол $\angle KOL$ совпадает с углом $\angle KOM$, поэтому $\angle KOL = 60^{\circ}$.

Найдем длину катета $OL$, который является проекцией радиуса $OK$ на радиус $OM$: $OL = OK \cdot \cos(\angle KOL) = 8 \cdot \cos(60^{\circ}) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ см.

Так как $OM \perp a$, то расстояние от точки $K$ до прямой $a$ равно разности длин отрезков $OM$ и $OL$ (то есть длине отрезка $LM$). Искомое расстояние $d = OM - OL$. Поскольку $OM$ — это радиус, $OM = 8$ см. $d = 8 - 4 = 4$ см.

Ответ: 4 см.