gdz.top
Номер 102, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский
Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. Вариант 3. Теорема о трёх перпендикулярах - номер 102, страница 78.
№101
№102 (с. 78)
Условие. №102 (с. 78)
102. Через вершину C равнобедренного треугольника ABC к его плоскости проведён перпендикуляр FC (рис. 94). Найдите расстояние от точки F до прямой AB, если $AC = BC = m$, $\angle ACB = \alpha$, $FC = b$.
Рис. 94
Решение. №102 (с. 78)
Решение 2. №102 (с. 78)
Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $F$ на прямую $AB$. Тогда искомое расстояние — это длина отрезка $FH$.
По условию, прямая $FC$ перпендикулярна плоскости треугольника $ABC$ ($FC \perp (ABC)$). Отрезок $FH$ является наклонной к плоскости $(ABC)$, а отрезок $CH$ — ее проекцией на эту плоскость.
Поскольку $FH \perp AB$ по построению, то по теореме о трех перпендикулярах, проекция $CH$ также перпендикулярна прямой $AB$, то есть $CH \perp AB$.
В треугольнике $ABC$ отрезок $CH$ является высотой, проведенной к стороне $AB$. Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с $AC = BC = m$, то высота $CH$, проведенная к основанию $AB$, является также биссектрисой угла $\angle ACB$.
Следовательно, $\angle ACH = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{\alpha}{2}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH$ (где $\angle CHA = 90^{\circ}$). Из определения косинуса: $CH = AC \cdot \cos(\angle ACH) = m \cdot \cos(\frac{\alpha}{2})$.
Так как $FC \perp (ABC)$, то $FC$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $C$. В частности, $FC \perp CH$. Таким образом, треугольник $FCH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C$.
По теореме Пифагора для треугольника $FCH$: $FH^2 = FC^2 + CH^2$
Подставим известные значения $FC = b$ и $CH = m \cos(\frac{\alpha}{2})$: $FH^2 = b^2 + (m \cos(\frac{\alpha}{2}))^2 = b^2 + m^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})$
Отсюда находим искомое расстояние $FH$: $FH = \sqrt{b^2 + m^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})}$
Ответ: $\sqrt{b^2 + m^2 \cos^2(\frac{\alpha}{2})}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 102 расположенного на странице 78 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №102 (с. 78), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.