Номер 105, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. В трапеции $ABCD$ известно, что $AB = CD = 17$ см, $AD = 32$ см. Через центр $O$ окружности, вписанной в эту трапецию, проведен перпендикуляр $PO$ к плоскости трапеции, $PO = \sqrt{65}$ см. Найдите расстояние от точки $P$ до сторон трапеции.

Поскольку в трапецию $ABCD$ вписана окружность, суммы ее противолежащих сторон равны. Из условия $AB = CD = 17$ см следует, что трапеция равнобедренная. Найдем длину меньшего основания $BC$:

$AB + CD = BC + AD$

$17 + 17 = BC + 32$

$34 = BC + 32$

$BC = 2$ см.

Для нахождения высоты $h$ трапеции проведем из вершины $B$ высоту $BH$ на основание $AD$. В равнобедренной трапеции отрезок $AH$, отсекаемый высотой на большем основании, вычисляется по формуле:

$AH = \frac{AD - BC}{2} = \frac{32 - 2}{2} = \frac{30}{2} = 15$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. По теореме Пифагора найдем высоту $h = BH$:

$h = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$ см.

Высота трапеции, в которую можно вписать окружность, равна диаметру этой окружности ($h = 2r$). Следовательно, радиус $r$ вписанной окружности равен:

$r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

Радиус вписанной окружности является расстоянием от ее центра $O$ до любой из сторон трапеции.

Теперь найдем расстояние от точки $P$ до сторон трапеции. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, проведенного из этой точки к прямой. Пусть $K$ — точка касания окружности с любой из сторон трапеции (например, со стороной $AD$). Тогда $OK$ — это радиус, проведенный в точку касания, и $OK \perp AD$. Длина $OK = r = 4$ см.

По условию, $PO$ перпендикулярен плоскости трапеции ($PO \perp (ABCD)$), а значит $PO$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $OK$. Следовательно, треугольник $POK$ — прямоугольный.

Рассмотрим наклонную $PK$ и ее проекцию $OK$ на плоскость трапеции. Так как проекция $OK$ перпендикулярна стороне $AD$, то по теореме о трех перпендикулярах и сама наклонная $PK$ перпендикулярна $AD$. Значит, длина отрезка $PK$ и есть искомое расстояние от точки $P$ до стороны $AD$.

По теореме Пифагора для треугольника $POK$:

$PK = \sqrt{PO^2 + OK^2} = \sqrt{(\sqrt{65})^2 + 4^2} = \sqrt{65 + 16} = \sqrt{81} = 9$ см.

Так как центр вписанной окружности $O$ равноудален от всех сторон трапеции (на расстояние $r$), то и расстояния от точки $P$ до всех четырех сторон трапеции будут одинаковы.

Ответ: 9 см.