Номер 111, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Упражнения. Вариант 3. Угол между прямой и плоскостью - номер 111, страница 79.

Условие.

111. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $BC = 1 \text{ см}$, $CD = \sqrt{3} \text{ см}$. Через вершину $A$ проведён перпендикуляр $MA$ к плоскости прямоугольника. Найдите угол между прямой $MC$ и плоскостью треугольника, если $MA = 2 \text{ см}$.

Решение.

Решение 2.

По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

В данной задаче прямая — это $MC$, а плоскость — это плоскость прямоугольника $ABCD$.

Так как по условию $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, то отрезок $AC$ является ортогональной проекцией наклонной $MC$ на плоскость $(ABCD)$. Следовательно, искомый угол — это угол между прямой $MC$ и её проекцией $AC$, то есть угол $\angle MCA$.

Рассмотрим треугольник $\triangle MAC$. Поскольку $MA \perp (ABCD)$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABCD)$, то $MA \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle MAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.

Для нахождения угла $\angle MCA$ нам нужно знать длины катетов $MA$ и $AC$. Длина катета $MA$ дана по условию: $MA = 2$ см.

Найдем длину катета $AC$. $AC$ является диагональю прямоугольника $ABCD$. Мы можем найти её длину, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (или $\triangle ADC$), где $\angle B = 90^\circ$. По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB = CD = \sqrt{3}$ см. Подставим известные значения:

$AC^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC = \sqrt{4} = 2$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle MAC$. Мы знаем длины обоих катетов: $MA = 2$ см и $AC = 2$ см. Мы можем найти тангенс искомого угла $\angle MCA$:

$\text{tg}(\angle MCA) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MA}{AC} = \frac{2}{2} = 1$

Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.

Таким образом, угол между прямой $MC$ и плоскостью прямоугольника $ABCD$ равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.