Номер 111, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тип: Дидактические материалы
Издательство: Вентана-граф
Год издания: 2020 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки:
ISBN: 978-5-360-09769-3
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Угол между прямой и плоскостью. Вариант 3. Упражнения - номер 111, страница 79.
№111 (с. 79)
Условие. №111 (с. 79)
скриншот условия


111. В прямоугольнике $ABCD$ известно, что $BC = 1 \text{ см}$, $CD = \sqrt{3} \text{ см}$. Через вершину $A$ проведён перпендикуляр $MA$ к плоскости прямоугольника. Найдите угол между прямой $MC$ и плоскостью треугольника, если $MA = 2 \text{ см}$.
Решение. №111 (с. 79)

Решение 2. №111 (с. 79)
По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.
В данной задаче прямая — это $MC$, а плоскость — это плоскость прямоугольника $ABCD$.
Так как по условию $MA$ — перпендикуляр к плоскости $(ABCD)$, то отрезок $AC$ является ортогональной проекцией наклонной $MC$ на плоскость $(ABCD)$. Следовательно, искомый угол — это угол между прямой $MC$ и её проекцией $AC$, то есть угол $\angle MCA$.
Рассмотрим треугольник $\triangle MAC$. Поскольку $MA \perp (ABCD)$, а прямая $AC$ лежит в плоскости $(ABCD)$, то $MA \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle MAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$.
Для нахождения угла $\angle MCA$ нам нужно знать длины катетов $MA$ и $AC$. Длина катета $MA$ дана по условию: $MA = 2$ см.
Найдем длину катета $AC$. $AC$ является диагональю прямоугольника $ABCD$. Мы можем найти её длину, рассмотрев прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (или $\triangle ADC$), где $\angle B = 90^\circ$. По теореме Пифагора:
$AC^2 = AB^2 + BC^2$
Так как $ABCD$ — прямоугольник, то $AB = CD = \sqrt{3}$ см. Подставим известные значения:
$AC^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
$AC = \sqrt{4} = 2$ см.
Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $\triangle MAC$. Мы знаем длины обоих катетов: $MA = 2$ см и $AC = 2$ см. Мы можем найти тангенс искомого угла $\angle MCA$:
$\text{tg}(\angle MCA) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{MA}{AC} = \frac{2}{2} = 1$
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$.
Таким образом, угол между прямой $MC$ и плоскостью прямоугольника $ABCD$ равен $45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 10 класс, для упражнения номер 111 расположенного на странице 79 к дидактическим материалам 2020 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №111 (с. 79), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Рабинович (Ефим Михайлович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Вентана-граф.