Номер 113, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Из точки $M$ к плоскости $\gamma$ провели наклонные $MN$ и $MK$, образующие с ней углы $30^{\circ}$ и $45^{\circ}$ соответственно. Найдите наклонную $MK$, если проекция наклонной $MN$ на плоскость $\gamma$ равна $4\sqrt{3}$ см.

Пусть $MH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $M$ на плоскость $\gamma$. Тогда отрезок $MH$ является расстоянием от точки $M$ до плоскости $\gamma$.

Отрезок $HN$ является проекцией наклонной $MN$ на плоскость $\gamma$, а отрезок $HK$ — проекцией наклонной $MK$ на плоскость $\gamma$.

По определению, угол между наклонной и плоскостью — это угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. Таким образом, $\angle MNH = 30^\circ$ и $\angle MKH = 45^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MHN$ (угол $\angle MHN = 90^\circ$, так как $MH \perp \gamma$). Нам известны катет $HN$ (проекция) и противолежащий ему угол $\angle MNH$.

Дано:
Проекция $HN = 4\sqrt{3}$ см.
Угол $\angle MNH = 30^\circ$.

Найдем длину перпендикуляра $MH$ из треугольника $\triangle MHN$ с помощью тангенса угла $\angle MNH$:$ \tan(\angle MNH) = \frac{MH}{HN} $

Отсюда $MH = HN \cdot \tan(\angle MNH)$.
Подставим известные значения:$ MH = 4\sqrt{3} \cdot \tan(30^\circ) = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 4 $ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle MKH$ (угол $\angle MKH = 90^\circ$). В этом треугольнике нам известен катет $MH = 4$ см и угол $\angle MKH = 45^\circ$, противолежащий этому катету. Нам нужно найти гипотенузу $MK$.

Воспользуемся синусом угла $\angle MKH$:$ \sin(\angle MKH) = \frac{MH}{MK} $

Отсюда $MK = \frac{MH}{\sin(\angle MKH)}$.
Подставим известные значения:$ MK = \frac{4}{\sin(45^\circ)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:$ MK = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2} $ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.