Номер 115, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Через вершину $B$ квадрата $ABCD$ к плоскости квадрата проведён перпендикуляр $KB$. Найдите расстояние от точки $K$ до прямой $AC$, если $AD = a$, прямая $KO$ образует с плоскостью квадрата угол $\phi$ ($O$ — точка пересечения диагоналей квадрата).

Пусть (ABCD) - плоскость квадрата. По условию, перпендикуляр $KB$ проведен к плоскости квадрата, следовательно, $KB \perp (ABCD)$.

Расстояние от точки $K$ до прямой $AC$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $K$ на прямую $AC$. Обозначим этот перпендикуляр $KH$, где $H \in AC$. Нам нужно найти длину отрезка $KH$.

Рассмотрим наклонную $KO$ к плоскости (ABCD), где $O$ — точка пересечения диагоналей квадрата. $BO$ является проекцией наклонной $KO$ на плоскость (ABCD), так как $K \rightarrow B$ и $O \rightarrow O$ при ортогональном проецировании на плоскость (ABCD).

В квадрате $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Так как $O$ — точка пересечения диагоналей, то $BO$ является частью диагонали $BD$, и, следовательно, $BO \perp AC$.

Воспользуемся теоремой о трёх перпендикулярах: если проекция наклонной на плоскость перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама наклонная перпендикулярна этой прямой.

В нашем случае:

• $KO$ — наклонная.
• $BO$ — её проекция на плоскость (ABCD).
• $AC$ — прямая в плоскости (ABCD).

Так как $BO \perp AC$, то по теореме о трёх перпендикулярах $KO \perp AC$.

Таким образом, отрезок $KO$ и есть перпендикуляр, опущенный из точки $K$ на прямую $AC$. Значит, искомое расстояние равно длине отрезка $KO$.

Теперь найдем длину $KO$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на плоскость. По условию, угол между прямой $KO$ и плоскостью квадрата равен $\varphi$. Проекцией $KO$ на плоскость является $BO$, следовательно, угол между $KO$ и $BO$ равен $\varphi$, то есть $\angle KOB = \varphi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle KBO$. Так как $KB \perp (ABCD)$, а отрезок $BO$ лежит в этой плоскости, то $KB \perp BO$. Следовательно, $\triangle KBO$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle KBO = 90^\circ$.

Найдем длину катета $BO$. В квадрате $ABCD$ со стороной $AD=a$ длина диагонали $BD$ равна:

$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Диагонали квадрата в точке пересечения делятся пополам, поэтому:

$BO = \frac{1}{2}BD = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle KBO$ мы знаем катет $BO$ и прилежащий к нему острый угол $\angle KOB = \varphi$. Искомая длина $KO$ является гипотенузой. Из определения косинуса угла:

$\cos(\angle KOB) = \frac{BO}{KO}$

Отсюда выразим $KO$:

$KO = \frac{BO}{\cos(\varphi)} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\cos(\varphi)} = \frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\varphi)}$.

Ответ: Расстояние от точки $K$ до прямой $AC$ равно $\frac{a\sqrt{2}}{2\cos(\varphi)}$.