Номер 108, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

108. Через вершину $B$ прямоугольника $ABCD$ проведена прямая $BM$, перпендикулярная плоскости прямоугольника. Расстояние от точки $M$ до прямой $AD$ равно $3\sqrt{5}$ см, $AB = 5$ см, $AD = 4\sqrt{5}$ см. Найдите расстояние от точки $M$ до прямой $CD$.

Дано: $ABCD$ — прямоугольник, $BM \perp (ABC)$, расстояние от $M$ до $AD$ равно $3\sqrt{5}$ см, $AB = 5$ см, $AD = 4\sqrt{5}$ см.

Найти: расстояние от точки $M$ до прямой $CD$.

Решение:

1. Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Рассмотрим расстояние от точки $M$ до прямой $AD$. Поскольку $BM$ перпендикулярна плоскости $(ABC)$, то $BM$ является перпендикуляром к этой плоскости. Отрезок $MA$ является наклонной, а отрезок $BA$ — её проекцией на плоскость $(ABC)$. Так как $ABCD$ — прямоугольник, то его стороны $AB$ и $AD$ перпендикулярны: $AB \perp AD$. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной ($AB$) перпендикулярна некоторой прямой в плоскости ($AD$), то и сама наклонная ($MA$) перпендикулярна этой прямой. Следовательно, $MA \perp AD$. Таким образом, длина отрезка $MA$ и есть расстояние от точки $M$ до прямой $AD$, то есть $MA = 3\sqrt{5}$ см.

2. Рассмотрим треугольник $\triangle MBA$. Так как $BM \perp (ABC)$, то $BM \perp AB$. Значит, $\triangle MBA$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B$. По теореме Пифагора: $MA^2 = MB^2 + AB^2$. Выразим $MB$: $MB^2 = MA^2 - AB^2 = (3\sqrt{5})^2 - 5^2 = 9 \cdot 5 - 25 = 45 - 25 = 20$. $MB = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

3. Теперь найдем искомое расстояние от точки $M$ до прямой $CD$. Аналогично, $BM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MC$ — наклонная, а $BC$ — её проекция. В прямоугольнике $ABCD$ стороны $BC$ и $CD$ перпендикулярны: $BC \perp CD$. По теореме о трех перпендикулярах, так как проекция $BC$ перпендикулярна прямой $CD$, то и наклонная $MC$ перпендикулярна прямой $CD$. Следовательно, длина отрезка $MC$ является расстоянием от точки $M$ до прямой $CD$.

4. Рассмотрим треугольник $\triangle MBC$. Так как $BM \perp (ABC)$, то $BM \perp BC$. Значит, $\triangle MBC$ — прямоугольный с прямым углом $\angle B$. По теореме Пифагора: $MC^2 = MB^2 + BC^2$. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $BC = AD = 4\sqrt{5}$ см. Подставим известные значения: $MC^2 = (2\sqrt{5})^2 + (4\sqrt{5})^2 = (4 \cdot 5) + (16 \cdot 5) = 20 + 80 = 100$. $MC = \sqrt{100} = 10$ см.

Ответ: 10 см.