Номер 103, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

103. Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведён перпендикуляр $OM$ к его плоскости. Найдите расстояние от точки $M$ до прямых, содержащих стороны параллелограмма, если $AB = 6$ см, $AD = 12$ см, $OM = 4$ см, площадь параллелограмма равна $48$ см$^2$.

Пусть $h_1$ - высота параллелограмма, проведенная к стороне $AD$, а $h_2$ - высота, проведенная к стороне $AB$. Площадь параллелограмма можно выразить через сторону и высоту, проведенную к ней: $S = a \cdot h_a$.

Поскольку $OM$ перпендикулярен плоскости параллелограмма $(ABCD)$, расстояние от точки $M$ до любой прямой, лежащей в этой плоскости (в частности, до сторон параллелограмма), можно найти с помощью теоремы о трех перпендикулярах. Если $OK$ - перпендикуляр из точки $O$ к стороне параллелограмма, то $MK$ будет перпендикуляром к этой же стороне, а его длина найдется из прямоугольного треугольника $\triangle MOK$ по теореме Пифагора: $MK = \sqrt{OM^2 + OK^2}$.

Точка пересечения диагоналей $O$ является центром симметрии параллелограмма, поэтому расстояние от точки $O$ до одной из сторон равно половине соответствующей высоты.

1. Найдем высоту $h_1$, проведенную к стороне $AD$:$S_{ABCD} = AD \cdot h_1$$48 = 12 \cdot h_1$$h_1 = \frac{48}{12} = 4$ см.

2. Найдем расстояние от точки $O$ до прямой $AD$. Оно равно половине высоты $h_1$. Обозначим это расстояние $d_1$.$d_1 = \frac{h_1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

3. Теперь найдем искомое расстояние от точки $M$ до прямой $AD$, которое обозначим $L_1$. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного отрезками $OM$, $d_1$ и $L_1$:$L_1^2 = OM^2 + d_1^2$$L_1^2 = 4^2 + 2^2 = 16 + 4 = 20$$L_1 = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ см.

Так как стороны $AD$ и $BC$ параллельны и равноудалены от точки $O$, расстояние от точки $M$ до прямой $BC$ также равно $2\sqrt{5}$ см.

Ответ: $2\sqrt{5}$ см.

1. Найдем высоту $h_2$, проведенную к стороне $AB$:$S_{ABCD} = AB \cdot h_2$$48 = 6 \cdot h_2$$h_2 = \frac{48}{6} = 8$ см.

2. Найдем расстояние от точки $O$ до прямой $AB$. Оно равно половине высоты $h_2$. Обозначим это расстояние $d_2$.$d_2 = \frac{h_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.

3. Теперь найдем искомое расстояние от точки $M$ до прямой $AB$, которое обозначим $L_2$. По теореме Пифагора:$L_2^2 = OM^2 + d_2^2$$L_2^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$$L_2 = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Так как стороны $AB$ и $CD$ параллельны и равноудалены от точки $O$, расстояние от точки $M$ до прямой $CD$ также равно $4\sqrt{2}$ см.

Ответ: $4\sqrt{2}$ см.