Номер 101, страница 78 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. Сторона равностороннего треугольника $ABC$ равна 12 см. Через центр $O$ треугольника к его плоскости проведён перпендикуляр $OM$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, если расстояние от точки $M$ до каждой из сторон треугольника $ABC$ равно $2\sqrt{7}$ см.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$ со стороной $a = 12$ см. Точка $O$ — центр треугольника. $OM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, значит, $OM \perp (ABC)$. Расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ — это и есть длина отрезка $OM$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Пусть $H$ — точка на стороне $AC$. Тогда расстояние от точки $M$ до стороны $AC$ — это длина отрезка $MH$, перпендикулярного $AC$. По условию, $MH = 2\sqrt{7}$ см. Аналогичные расстояния до сторон $AB$ и $BC$ также равны $2\sqrt{7}$ см.

Рассмотрим треугольник $OMH$. Так как $OM \perp (ABC)$, а отрезок $OH$ лежит в плоскости $(ABC)$, то $OM \perp OH$. Следовательно, треугольник $OMH$ является прямоугольным с прямым углом $MOH$.

По теореме о трех перпендикулярах: так как $OM$ — перпендикуляр к плоскости $(ABC)$, $MH$ — наклонная, а $OH$ — ее проекция на плоскость $(ABC)$, и при этом наклонная $MH$ перпендикулярна прямой $AC$ ($MH \perp AC$), то и ее проекция $OH$ перпендикулярна этой прямой ($OH \perp AC$).

Таким образом, отрезок $OH$ — это расстояние от центра равностороннего треугольника $O$ до его стороны $AC$. Это расстояние равно радиусу $r$ вписанной в треугольник окружности.

Найдем радиус вписанной окружности для равностороннего треугольника со стороной $a = 12$ см по формуле:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

$OH = r = \frac{12}{2\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Теперь вернемся к прямоугольному треугольнику $OMH$. По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

$MH^2 = OM^2 + OH^2$

Отсюда можем выразить искомый отрезок $OM$:

$OM^2 = MH^2 - OH^2$

Подставим известные значения $MH = 2\sqrt{7}$ см и $OH = 2\sqrt{3}$ см:

$OM^2 = (2\sqrt{7})^2 - (2\sqrt{3})^2 = (4 \cdot 7) - (4 \cdot 3) = 28 - 12 = 16$

$OM = \sqrt{16} = 4$ см.

Расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$ равно 4 см.

Ответ: 4 см.