Номер 110, страница 79 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Найдите угол между наклонной и плоскостью, к которой она проведена, если длина наклонной равна 24 см, а расстояние от конца наклонной до плоскости — 18 см.

Пусть $\alpha$ — данная плоскость, а $AB$ — наклонная, проведенная к ней, где точка $A$ лежит в плоскости $\alpha$. Длина наклонной $AB$ равна 24 см.

Расстояние от конца наклонной (точки $B$) до плоскости — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой $C$. Тогда отрезок $BC$ перпендикулярен плоскости $\alpha$, и его длина, согласно условию, равна $BC = 18$ см.

Отрезок $AC$, соединяющий основание наклонной ($A$) и основание перпендикуляра ($C$), является проекцией наклонной $AB$ на плоскость $\alpha$.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и её проекцией на плоскость. В нашем случае это угол $\angle BAC$. Обозначим его как $\varphi$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Поскольку $BC$ является перпендикуляром к плоскости $\alpha$, а прямая $AC$ лежит в этой плоскости, то $BC \perp AC$. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABC$:
• гипотенуза $AB$ — это сама наклонная, $AB = 24$ см.
• катет $BC$ — это перпендикуляр (расстояние от точки до плоскости), противолежащий искомому углу $\varphi$, $BC = 18$ см.

Для нахождения угла $\varphi$ используем тригонометрическую функцию синус, которая в прямоугольном треугольнике определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы:
$\sin(\varphi) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения в формулу:
$\sin(\varphi) = \frac{18}{24}$

Сократим полученную дробь:
$\sin(\varphi) = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{3}{4}$

Искомый угол $\varphi$ — это угол, синус которого равен $\frac{3}{4}$. Такое значение выражается через функцию арксинус.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{3}{4}\right)$