Номер 114, страница 80 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Из точки $B$ к плоскости $\alpha$ провели наклонные $BA$ и $BC$, образующие с этой плоскостью углы $60^\circ$ и $30^\circ$ соответственно, $BA = 2\sqrt{3}$ см. Найдите расстояние между точками $A$ и $C$, если угол между проекциями наклонных равен $120^\circ$.

Пусть H - проекция точки B на плоскость α. Тогда BH - перпендикуляр к плоскости α. Отрезки HA и HC являются проекциями наклонных BA и BC на эту плоскость соответственно. Следовательно, треугольники BHA и BHC являются прямоугольными, с прямыми углами при вершине H ($\angle BHA = \angle BHC = 90^\circ$).

Угол между наклонной и плоскостью - это угол между самой наклонной и её проекцией на эту плоскость. По условию задачи, $\angle BAH = 60^\circ$ и $\angle BCH = 30^\circ$. Также дано, что длина наклонной $BA = 2\sqrt{3}$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHA. Используя тригонометрические соотношения, найдем длину проекции HA и высоту BH:
$HA = BA \cdot \cos(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{3}$ см.
$BH = BA \cdot \sin(60^\circ) = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Зная катет $BH = 3$ см и угол $\angle BCH = 30^\circ$, найдем длину проекции HC:
$HC = \frac{BH}{\tan(30^\circ)} = \frac{3}{1/\sqrt{3}} = 3\sqrt{3}$ см.

Мы ищем расстояние между точками A и C, то есть длину отрезка AC. Точки A, H и C лежат в одной плоскости α. Рассмотрим треугольник AHC. Нам известны длины двух его сторон, $HA = \sqrt{3}$ см и $HC = 3\sqrt{3}$ см, а также угол между ними, который по условию равен 120°, то есть $\angle AHC = 120^\circ$.

Для нахождения длины стороны AC воспользуемся теоремой косинусов:
$AC^2 = HA^2 + HC^2 - 2 \cdot HA \cdot HC \cdot \cos(\angle AHC)$
Подставим известные значения в формулу:
$AC^2 = (\sqrt{3})^2 + (3\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} \cdot \cos(120^\circ)$
$AC^2 = 3 + 27 - 2 \cdot 9 \cdot (-\frac{1}{2})$
$AC^2 = 30 + 9 = 39$
$AC = \sqrt{39}$ см.

Ответ: $\sqrt{39}$ см.