Номер 119, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. В гранях двугранного угла проведены прямые $b$ и $c$, параллельные его ребру, на расстоянии $2\sqrt{2}$ см и $4$ см от него соответственно. Найдите величину этого двугранного угла, если расстояние между прямыми $b$ и $c$ равно $2\sqrt{10}$ см.

Пусть дан двугранный угол с ребром $a$. В его гранях, плоскостях $\pi_1$ и $\pi_2$, проведены прямые $b$ и $c$ соответственно, причем $b \parallel a$ и $c \parallel a$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Для построения линейного угла выберем на ребре $a$ произвольную точку $O$ и проведем через нее плоскость $\gamma$, перпендикулярную ребру $a$.

Эта плоскость пересечет грани $\pi_1$ и $\pi_2$ по лучам $OB$ и $OC$, где $B$ — точка на прямой $b$, а $C$ — точка на прямой $c$. Угол $\angle BOC$ является линейным углом данного двугранного угла. Обозначим его величину как $\alpha$.

Так как плоскость $\gamma$ перпендикулярна ребру $a$, а прямые $b$ и $c$ параллельны $a$, то плоскость $\gamma$ будет перпендикулярна и прямым $b$ и $c$.

Следовательно, отрезок $OB$ является расстоянием от точки $O$ на ребре $a$ до прямой $b$. По условию, это расстояние равно $2\sqrt{2}$ см. Таким образом, $OB = 2\sqrt{2}$ см.

Аналогично, отрезок $OC$ является расстоянием от точки $O$ на ребре $a$ до прямой $c$. По условию, это расстояние равно $4$ см. Таким образом, $OC = 4$ см.

Расстояние между скрещивающимися (в данном случае параллельными) прямыми $b$ и $c$ — это длина их общего перпендикуляра. Поскольку отрезки $OB$ и $OC$ лежат в плоскости $\gamma$, перпендикулярной обеим прямым, то отрезок $BC$, соединяющий их концы, и есть искомое расстояние. По условию, расстояние между прямыми $b$ и $c$ равно $2\sqrt{10}$ см. Таким образом, $BC = 2\sqrt{10}$ см.

Мы получили треугольник $OBC$, в котором известны длины всех трех сторон: $OB = 2\sqrt{2}$ см, $OC = 4$ см, $BC = 2\sqrt{10}$ см. Угол, который нам нужно найти, — это $\angle BOC = \alpha$.

Применим к треугольнику $OBC$ теорему косинусов: $BC^2 = OB^2 + OC^2 - 2 \cdot OB \cdot OC \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения: $(2\sqrt{10})^2 = (2\sqrt{2})^2 + 4^2 - 2 \cdot (2\sqrt{2}) \cdot 4 \cdot \cos(\alpha)$

Выполним вычисления: $4 \cdot 10 = 4 \cdot 2 + 16 - 16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$ $40 = 8 + 16 - 16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$ $40 = 24 - 16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$

Выразим $\cos(\alpha)$: $40 - 24 = -16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$ $16 = -16\sqrt{2} \cdot \cos(\alpha)$ $\cos(\alpha) = \frac{16}{-16\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Из полученного значения косинуса находим величину угла $\alpha$. Так как величина двугранного угла находится в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$, то углу с косинусом, равным $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, соответствует значение $\alpha = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.