Номер 120, страница 81 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Величина двугранного угла равна $60^\circ$. Плоскость $\beta$ пересекает грани двугранного угла по параллельным прямым, удалённым от ребра двугранного угла на 5 см и на 8 см. Найдите расстояние от ребра двугранного угла до плоскости $\beta$.

Пусть дан двугранный угол с ребром e и гранями α₁ и α₂. Величина этого угла составляет 60°. Плоскость β пересекает грани α₁ и α₂ по параллельным прямым l₁ и l₂ соответственно. Расстояние от ребра e до прямой l₁ равно 5 см, а до прямой l₂ — 8 см. Требуется найти расстояние от ребра e до плоскости β.

Поскольку прямые l₁ и l₂ параллельны и лежат в пересекающихся плоскостях α₁ и α₂, они обе параллельны ребру двугранного угла e.

Для решения задачи рассмотрим сечение двугранного угла плоскостью γ, перпендикулярной ребру e. В этой плоскости сечения ребру e будет соответствовать точка O, а граням α₁ и α₂ — два луча, выходящие из точки O под углом 60° (линейный угол двугранного угла).

Прямые l₁ и l₂ также будут пересечены плоскостью γ в точках A и B соответственно. Расстояние от ребра e до прямой l₁ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую l₁, что в нашем сечении равно длине отрезка OA. Аналогично, расстояние от ребра e до прямой l₂ равно длине отрезка OB.

Таким образом, мы получаем на плоскости γ треугольник OAB, в котором $OA = 5$ см, $OB = 8$ см и $\angle AOB = 60^\circ$.

Плоскость β, проходящая через параллельные прямые l₁ и l₂, в нашем сечении будет представлена прямой AB. Расстояние от ребра e до плоскости β — это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на прямую AB. Обозначим эту высоту треугольника OAB как h.

Для нахождения высоты h воспользуемся методом площадей.

1. Найдем длину стороны AB по теореме косинусов для треугольника OAB:
$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos(\angle AOB)$
$AB^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ)$
$AB^2 = 25 + 64 - 80 \cdot \frac{1}{2}$
$AB^2 = 89 - 40 = 49$
$AB = \sqrt{49} = 7$ см

2. Найдем площадь треугольника OAB по формуле с использованием синуса угла между двумя сторонами:
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \cdot \sin(\angle AOB)$
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin(60^\circ)$
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$ см²

3. Теперь выразим площадь треугольника через сторону AB и высоту h, проведенную к ней:
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h$
Отсюда найдем высоту h:
$h = \frac{2 \cdot S_{\triangle OAB}}{AB}$
$h = \frac{2 \cdot 10\sqrt{3}}{7} = \frac{20\sqrt{3}}{7}$ см

Таким образом, искомое расстояние от ребра двугранного угла до плоскости β равно высоте h треугольника OAB.

Ответ: $\frac{20\sqrt{3}}{7}$ см.