Номер 127, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

127. Равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ ($\angle ACB = 90^\circ$) и квадрат $ABDE$ имеют общую сторону $AB$ длиной 6 см. Найдите угол между их плоскостями, если $CD = \sqrt{34}$ см.

Угол между плоскостью треугольника $ABC$ и плоскостью квадрата $ABDE$ — это двугранный угол, ребром которого является их общая сторона $AB$. Для нахождения этого угла построим его линейный угол.

Построение линейного угла

Выберем точку $H$ — середину ребра $AB$. Тогда $AH = HB = \frac{1}{2}AB = \frac{6}{2} = 3$ см.

В плоскости треугольника $ABC$ проведем отрезок $CH$. Поскольку $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AB$, его медиана $CH$ также является высотой, то есть $CH \perp AB$. В прямоугольном треугольнике ($\angle ACB = 90^\circ$) медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, следовательно, $CH = \frac{1}{2}AB = 3$ см.

В плоскости квадрата $ABDE$ проведем отрезок $HK$, где $K$ — середина стороны $DE$. Отрезок $HK$ соединяет середины противоположных сторон квадрата, поэтому он перпендикулярен $AB$ и равен по длине стороне квадрата. Таким образом, $HK \perp AB$ и $HK = AB = 6$ см.

Линейным углом двугранного угла является угол между перпендикулярами $CH$ и $HK$, проведенными к ребру $AB$ в одной точке $H$. Обозначим искомый угол как $\phi = \angle CHK$.

Нахождение угла методом координат

Для нахождения величины угла $\phi$ введем трехмерную систему координат. Поместим начало координат в точку $H$. Ось $Ox$ направим вдоль луча $HB$. Плоскость квадрата $(ABDE)$ совместим с плоскостью $Oxy$, направив ось $Oy$ вдоль луча $HK$.

В этой системе координат точки имеют следующие координаты:

$H(0; 0; 0)$

$D(-3; 6; 0)$ (так как $A(-3; 0; 0)$ и $AD$ параллельна $HK$ и равна 6)

Точка $C$ лежит в плоскости, проходящей через ось $Ox$ и образующей угол $\phi$ с плоскостью $Oxy$. Так как отрезок $CH$ имеет длину 3 и образует угол $\phi$ с осью $Oy$, координаты точки $C$ будут $C(0; 3\cos\phi; 3\sin\phi)$.

По условию задачи, расстояние между точками $C$ и $D$ равно $\sqrt{34}$. Найдем квадрат этого расстояния, используя формулу расстояния между точками:

$CD^2 = (x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2 + (z_D - z_C)^2$

Подставим координаты и заданное значение:

$(\sqrt{34})^2 = (-3 - 0)^2 + (6 - 3\cos\phi)^2 + (0 - 3\sin\phi)^2$

$34 = 9 + (36 - 36\cos\phi + 9\cos^2\phi) + 9\sin^2\phi$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\phi + \cos^2\phi = 1$, упростим уравнение:

$34 = 9 + 36 - 36\cos\phi + 9(\cos^2\phi + \sin^2\phi)$

$34 = 45 - 36\cos\phi + 9(1)$

$34 = 54 - 36\cos\phi$

Решим полученное уравнение относительно $\cos\phi$:

$36\cos\phi = 54 - 34$

$36\cos\phi = 20$

$\cos\phi = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

Следовательно, искомый угол между плоскостями равен $\arccos(\frac{5}{9})$.

Ответ: $\arccos(\frac{5}{9})$.