Номер 128, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

128. Плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются по прямой $m$. Из точек $A$ и $M$, лежащих в плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно, проведены перпендикуляры $MK$ и $AE$ к прямой $m$. Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$, если $KE = 2\sqrt{7}$ см, $ME = 10$ см, $MA = 2\sqrt{17}$ см, $AE = 8$ см.

Пусть $\phi$ — искомый угол между плоскостями $\alpha$ и $\beta$. Этот угол равен углу между перпендикулярами $AE$ и $MK$, проведенными к линии пересечения $m$.

Рассмотрим треугольник $MKE$. По условию, $MK$ — перпендикуляр, проведенный к прямой $m$. Точки $K$ и $E$ лежат на прямой $m$. Следовательно, отрезок $KE$ лежит на прямой $m$, и, значит, $MK \perp KE$. Таким образом, треугольник $MKE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $K$.

Применим теорему Пифагора для $\triangle MKE$:$ME^2 = MK^2 + KE^2$

Подставим известные значения:$10^2 = MK^2 + (2\sqrt{7})^2$$100 = MK^2 + 4 \cdot 7$$100 = MK^2 + 28$$MK^2 = 100 - 28 = 72$$MK = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$ см.

Для нахождения угла между плоскостями воспользуемся векторным методом. Выразим вектор $\vec{AM}$ через векторы, составленные из данных в задаче отрезков:$\vec{AM} = \vec{AE} + \vec{EK} + \vec{KM}$

Найдем квадрат длины вектора $\vec{AM}$, который равен квадрату расстояния $MA$:$MA^2 = |\vec{AM}|^2 = |\vec{AE} + \vec{EK} + \vec{KM}|^2$

Используя свойства скалярного произведения, раскроем квадрат суммы векторов:$MA^2 = |\vec{AE}|^2 + |\vec{EK}|^2 + |\vec{KM}|^2 + 2(\vec{AE} \cdot \vec{EK}) + 2(\vec{AE} \cdot \vec{KM}) + 2(\vec{EK} \cdot \vec{KM})$

Так как $AE \perp m$ и $EK$ лежит на $m$, то векторы $\vec{AE}$ и $\vec{EK}$ перпендикулярны, и их скалярное произведение равно нулю: $\vec{AE} \cdot \vec{EK} = 0$.Аналогично, $MK \perp m$ и $EK$ лежит на $m$, поэтому $\vec{KM}$ и $\vec{EK}$ перпендикулярны: $\vec{EK} \cdot \vec{KM} = 0$.

Уравнение упрощается:$MA^2 = AE^2 + EK^2 + MK^2 + 2(\vec{AE} \cdot \vec{KM})$

Скалярное произведение $\vec{AE} \cdot \vec{KM}$ равно произведению длин векторов на косинус угла $\theta$ между ними: $\vec{AE} \cdot \vec{KM} = AE \cdot MK \cdot \cos\theta$.Угол $\phi$ между плоскостями — это угол между перпендикулярами $AE$ и $MK$, направленными в одну сторону от прямой $m$. Вектор $\vec{AE}$ направлен от точки $A$ к прямой $m$, а вектор $\vec{KM}$ — от прямой $m$ к точке $M$. Таким образом, угол между векторами $\theta = 180^\circ - \phi$, и $\cos\theta = \cos(180^\circ - \phi) = -\cos\phi$.

Подставляя это в наше уравнение, получаем:$MA^2 = AE^2 + EK^2 + MK^2 - 2 \cdot AE \cdot MK \cdot \cos\phi$

Теперь подставим все числовые значения в эту формулу:$MA^2 = (2\sqrt{17})^2 = 4 \cdot 17 = 68$$AE^2 = 8^2 = 64$$EK^2 = (2\sqrt{7})^2 = 4 \cdot 7 = 28$$MK^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$

$68 = 64 + 28 + 72 - 2 \cdot 8 \cdot 6\sqrt{2} \cdot \cos\phi$$68 = 164 - 96\sqrt{2} \cos\phi$$96\sqrt{2} \cos\phi = 164 - 68$$96\sqrt{2} \cos\phi = 96$$\cos\phi = \frac{96}{96\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол между плоскостями по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Следовательно:$\phi = \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = 45^\circ$

Ответ: $45^\circ$.