Номер 133, страница 82 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Точка $M$ равноудалена от сторон ромба $ABCD$. Докажите, что плоскости $AMC$ и $BMD$ перпендикулярны.

Доказательство:

1. Пусть $O$ — проекция точки $M$ на плоскость ромба $(ABCD)$. По определению проекции, отрезок $MO$ перпендикулярен плоскости $(ABCD)$, то есть $MO \perp (ABCD)$.

2. По условию, точка $M$ равноудалена от всех сторон ромба $ABCD$. Это означает, что длины перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на прямые, содержащие стороны ромба, равны.

3. Рассмотрим наклонные, проведенные из точки $M$ к сторонам ромба, и их проекции. Так как наклонные (расстояния от $M$ до сторон) равны, то равны и их проекции на плоскость $(ABCD)$. Проекции этих перпендикуляров являются перпендикулярами, опущенными из точки $O$ на стороны ромба. Следовательно, точка $O$ равноудалена от всех сторон ромба $ABCD$.

4. Точка, равноудаленная от всех сторон многоугольника, является центром вписанной в него окружности. В ромбе центром вписанной окружности является точка пересечения его диагоналей. Таким образом, точка $O$ является точкой пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. То есть, $O = AC \cap BD$.

5. Теперь у нас есть следующая информация:

• $BD$ — одна из диагоналей ромба.
• $AC$ — вторая диагональ ромба. По свойству ромба, его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
• $MO \perp (ABCD)$, а так как прямая $BD$ лежит в плоскости $(ABCD)$, то $MO \perp BD$.

6. Мы установили, что прямая $BD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $AC$ и $MO$ в плоскости $(AMC)$ (они пересекаются в точке $O$). Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, $BD \perp (AMC)$.

7. Плоскость $(BMD)$ проходит через прямую $BD$, которая перпендикулярна плоскости $(AMC)$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

8. Таким образом, плоскость $(AMC)$ перпендикулярна плоскости $(BMD)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что плоскости $AMC$ и $BMD$ перпендикулярны.