Номер 136, страница 83 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Точки $A$ и $B$ лежат в перпендикулярных плоскостях $\alpha$ и $\beta$ соответственно. Из точек $A$ и $B$ опустили перпендикуляры $AE$ и $BF$ на линию пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$. Найдите расстояние от точки $A$ до линии пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$, если расстояние от точки $B$ до этой линии равно 9 см, $AB = 25$ см, $EF = 12$ см.

Пусть $l$ — линия пересечения плоскостей $α$ и $β$. По условию задачи, точки $A$ и $B$ лежат в плоскостях $α$ и $β$ соответственно, причем эти плоскости перпендикулярны ($α \perp β$).

Из точек $A$ и $B$ опущены перпендикуляры $AE$ и $BF$ на линию пересечения $l$. Это означает, что точки $E$ и $F$ лежат на прямой $l$, и $AE \perp l$, $BF \perp l$.

Искомое расстояние от точки $A$ до линии пересечения плоскостей — это длина перпендикуляра $AE$.

Нам даны следующие значения:

• Расстояние от точки $B$ до линии пересечения, $BF = 9$ см.
• Расстояние между точками $A$ и $B$, $AB = 25$ см.
• Расстояние между основаниями перпендикуляров, $EF = 12$ см.

Рассмотрим пространственное расположение элементов. Так как плоскость $β$ перпендикулярна плоскости $α$, и прямая $BF$ лежит в плоскости $β$ и перпендикулярна линии их пересечения $l$, то прямая $BF$ перпендикулярна всей плоскости $α$ ($BF \perp α$).

Поскольку прямая $BF$ перпендикулярна плоскости $α$, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Отрезок $AF$ лежит в плоскости $α$, следовательно, $BF \perp AF$. Это означает, что треугольник $ABF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ΔABF$: $AB^2 = AF^2 + BF^2$

Подставим известные значения, чтобы найти длину $AF$: $25^2 = AF^2 + 9^2$ $625 = AF^2 + 81$ $AF^2 = 625 - 81$ $AF^2 = 544$

Теперь рассмотрим плоскость $α$. В этой плоскости лежат точки $A$, $E$ и $F$. По условию, $AE$ — перпендикуляр к прямой $l$, на которой лежат точки $E$ и $F$. Следовательно, $AE \perp EF$. Это означает, что треугольник $AEF$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$.

Применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику $ΔAEF$: $AF^2 = AE^2 + EF^2$

Мы уже нашли $AF^2 = 544$ и знаем, что $EF = 12$ см. Подставим эти значения, чтобы найти искомую длину $AE$: $544 = AE^2 + 12^2$ $544 = AE^2 + 144$ $AE^2 = 544 - 144$ $AE^2 = 400$ $AE = \sqrt{400} = 20$ см.

Таким образом, расстояние от точки $A$ до линии пересечения плоскостей равно 20 см.

Ответ: 20 см.