Номер 143, страница 84 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

143. Площадь четырёхугольника равна $180 \text{ см}^2$. Его ортогональной проекцией на некоторую плоскость является параллелограмм, одна из сторон которого равна $12 \text{ см}$, а угол между сторонами — $60^\circ$. Найдите неизвестную сторону параллелограмма, если угол между плоскостью данного четырёхугольника и плоскостью его проекции равен $30^\circ$.

Пусть $S$ - площадь исходного четырехугольника, а $S_{пр}$ - площадь его ортогональной проекции, которая является параллелограммом. Угол между плоскостью четырехугольника и плоскостью проекции обозначим как $\phi$.

Площадь ортогональной проекции многоугольника на плоскость равна произведению его площади на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции. Это выражается формулой:$S_{пр} = S \cdot \cos(\phi)$

По условию задачи дано:
- Площадь четырехугольника $S = 180 \text{ см}^2$.
- Угол между плоскостями $\phi = 30^\circ$.

Используя эти данные, найдем площадь параллелограмма (проекции):$S_{пр} = 180 \cdot \cos(30^\circ) = 180 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 90\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Площадь параллелограмма также можно найти по формуле через две его стороны и угол между ними:$S_{пр} = a \cdot b \cdot \sin(\alpha)$,где $a$ и $b$ - стороны параллелограмма, а $\alpha$ - угол между ними.

Из условия мы знаем:
- Одна из сторон параллелограмма $a = 12 \text{ см}$.
- Угол между сторонами $\alpha = 60^\circ$.
- Площадь параллелограмма, как мы вычислили, $S_{пр} = 90\sqrt{3} \text{ см}^2$.

Пусть $b$ - неизвестная сторона. Подставим известные значения в формулу площади параллелограмма, чтобы составить уравнение:$90\sqrt{3} = 12 \cdot b \cdot \sin(60^\circ)$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$90\sqrt{3} = 12 \cdot b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

Упростим выражение в правой части:$90\sqrt{3} = 6 \cdot b \cdot \sqrt{3}$

Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на $6\sqrt{3}$:$b = \frac{90\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}$$b = 15 \text{ см}$

Таким образом, неизвестная сторона параллелограмма равна 15 см.

Ответ: 15 см.