Номер 148, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. Основанием прямой призмы является прямоугольник, одна из сторон которого равна $2\sqrt{3}$ см, а угол между этой стороной и диагональю прямоугольника равен $30^{\circ}$. Найдите диагональ призмы, если её боковое ребро равно $4\sqrt{2}$ см.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольник ABCD, а сама призма — $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Пусть сторона основания $AB = 2\sqrt{3}$ см. Угол между этой стороной и диагональю прямоугольника AC равен $30^\circ$, то есть $\angle CAB = 30^\circ$. Боковое ребро призмы, которое также является её высотой, равно $h = CC_1 = 4\sqrt{2}$ см. Нам нужно найти диагональ призмы, например, $A_1C$.

1. Найдем диагональ основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle B = 90^\circ$, так как ABCD — прямоугольник). В этом треугольнике нам известен катет $AB = 2\sqrt{3}$ см и прилежащий к нему острый угол $\angle CAB = 30^\circ$. Диагональ основания AC является гипотенузой этого треугольника.Найдем гипотенузу AC, используя определение косинуса:$ \cos(\angle CAB) = \frac{AB}{AC} $Отсюда выразим AC:$ AC = \frac{AB}{\cos(30^\circ)} $Подставим известные значения ($AB = 2\sqrt{3}$ и $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$):$ AC = \frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 4 $ см.Итак, диагональ основания $d_{осн} = AC = 4$ см.

2. Найдем диагональ призмы.
Диагональ призмы $A_1C$, диагональ основания $AC$ и боковое ребро $A_1A$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle A_1AC$ (угол $\angle A_1AC = 90^\circ$, так как призма прямая, и её боковые рёбра перпендикулярны основанию).В этом треугольнике катеты — это диагональ основания $AC = 4$ см и боковое ребро (высота) $A_1A = 4\sqrt{2}$ см. Диагональ призмы $A_1C$ является гипотенузой.По теореме Пифагора:$ A_1C^2 = AC^2 + A_1A^2 $Подставим найденные значения:$ A_1C^2 = 4^2 + (4\sqrt{2})^2 $$ A_1C^2 = 16 + (16 \cdot 2) $$ A_1C^2 = 16 + 32 $$ A_1C^2 = 48 $$ A_1C = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.