Номер 151, страница 85 - гдз по геометрии 10 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

151. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 8 см и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите сторону основания призмы и угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью.

Пусть дана правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В основании призмы лежит квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Высота призмы равна $h$. Диагональ призмы $D = B_1D = 8$ см. Угол между диагональю призмы и плоскостью основания – это угол между отрезком $B_1D$ и его проекцией на плоскость основания $ABCD$, которой является диагональ основания $BD$. Таким образом, по условию, $\angle B_1DB = 45^\circ$.

Найдите сторону основания призмы

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1BD$, где $\angle B_1BD = 90^\circ$. Катеты этого треугольника – высота призмы $h = BB_1$ и диагональ основания $d = BD$, а гипотенуза – диагональ призмы $D = B_1D$.

Поскольку один из острых углов прямоугольного треугольника равен $45^\circ$, то и второй острый угол также равен $45^\circ$, а сам треугольник является равнобедренным. Следовательно, $h = d$.

Из соотношений в прямоугольном треугольнике найдем длину диагонали основания $d$: $d = D \cdot \cos(45^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

В основании призмы лежит квадрат, диагональ которого $d$ связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$. Подставим найденное значение $d$: $4\sqrt{2} = a\sqrt{2}$

Отсюда находим сторону основания: $a = 4$ см.

Ответ: 4 см.

Найдите угол, который диагональ призмы образует с её боковой гранью

Угол между диагональю призмы $B_1D$ и плоскостью боковой грани (например, $CDD_1C_1$) – это угол между самой диагональю и ее проекцией на эту плоскость.

Для построения проекции опустим перпендикуляр из точки $B_1$ на плоскость грани $CDD_1C_1$. Так как призма правильная, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно ребру $C_1D_1$ (как стороны квадрата) и ребру $CC_1$ (так как боковые грани перпендикулярны основанию). Следовательно, ребро $B_1C_1$ перпендикулярно всей плоскости грани $CDD_1C_1$.

Таким образом, отрезок $C_1D$ является проекцией диагонали $B_1D$ на плоскость грани $CDD_1C_1$. Искомый угол $\beta$ – это угол $\angle B_1DC_1$ в треугольнике $\triangle B_1C_1D$.

Поскольку $B_1C_1 \perp (CDD_1C_1)$, то $B_1C_1 \perp C_1D$, и треугольник $\triangle B_1C_1D$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C_1$.

В этом треугольнике нам известны: - гипотенуза $B_1D = D = 8$ см (диагональ призмы); - катет $B_1C_1 = a = 4$ см (сторона основания, найденная в предыдущем пункте).

Найдем синус искомого угла $\beta = \angle B_1DC_1$: $\sin(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{B_1C_1}{B_1D} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, $\beta = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.